Реферат: Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления определенного интеграла

Данная задача заключается в решении определенного интеграла по квадратурной формуле Чебышева. Как известно, вычисление определенного интеграла сводится к вычислению площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми x = 0, y = a, y = b и y = f(x).

При вычислении определенного интеграла можно воспользоваться известной всем, формуле Ньютона – Лейбница, при условии f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а также определена ее первообразная F(x). Но во многих случаях первообразная получается очень сложной для вычисления, да и функция часто задается таблично. Поэтому большое значение приобретает приближенное и в первую очередь численное интегрирование, задача которого заключается в нахождении приближенного значения интеграла по заданным или вычисленным значениям подынтегральной функции f(x) в некоторых точках (узлах) отрезка [a, b].

Механическая квадратура — численное значение однократного интеграла, и формулы численного интегрирования соответственно называют квадратурными.

Меняя подынтегральную функцию каким-либо интерполяционным многочленом, получаем квадратурные формулы, где x k — выбранные узлы интерполяции; A k — коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но не от вида функции (k = 0, 1, 2,........,n); R — остаточный член, или погрешность квадратурной формулы, отбросив который получим погрешность усечения. Далее, при расчете к погрешности усечения добавляются другие погрешности округления.

Разбив отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей получим следующее: x i = x o + i .. h; (i = 0, 1, 2,......,n) x o = a; x n = b; h= (b-a)/n. Вычислим подынтегральную функцию в полученных узлах: y i = f(x i); (i = 0, 1, 2,......,n).

Для выведения формул численного интегрирования воспользуемся интерполяционным полиномом Лагранжа.

Пусть для функции y = f(x) известны в n + 1 точках X0, X1, X2, Xn промежутка [a,b] соответствующие определения f(xi)=yi (i=0,1,2..n). По заданным значениям Yi строим полином Лагранжа, заменяя f(x) полиномом Ln(x), где Rn(f) — ошибка квадратурной формулы. Воспользовавшись выражением для Ln(x), получим приближенную квадратурную формулу.

Однако заметим, следующее: коэффициенты Ai при данном расположении узлов не зависит от выбора функции f(x); для полинома степени n последняя формула точная.

Считая, что y = xK (k = 0, 1, 2..,n), получим линейную систему из n + 1 уравнений, где (k = 0, 1,..,n), из которой можно определить коэффициенты А0, А1,..,АN. Определитель системы есть определитель Вандермонда/

Но также необходимо заметить, что при применении данного метода фактически построение полинома Лагранжа Ln(x) является излишним. Простой метод подсчета погрешности квадратурных формул разработан С. М. Никольским.

Применяя метод трапеций и средних прямоугольников, интеграл будет численно равняться сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина (точность), и сумме площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, график функции должен пересекать в середине.

Определим общую формулу Симпсона (параболическая формула) по следующим условиям: пусть n = 2m есть четное число и yi = f(xi) (i = 0, 1, 2...n) - значения функции y = f(x) для равноотстоящих точек а = x0, x1, ... ,xn=b с шагом h. Применив формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку [x0,x2], [x2,x4] ... [x2m-2,x2m] длины 2h и введя обозначения s 1 =y 1 +y 2 + ... +y 2m-1 s 2 =y 2 +y 4 + ... +y 2m получим обобщенную формулу Симпсона и остаточный член формулы Симпсона в общем виде, где x k I (x 2к-2 ,x 2к).

Рассмотрим квадратурную формулу Чебышева: пусть дана функция f(x) в виде многочлена f(x)=a o +a 1 x+...+a n x n. Проинтегрировав, преобразовав и подставив значения многочлена в узлах:

f(x 1)=a 0 +a 1 x 1 +a 2 x 12 +a 3 x 13 +...+a n x 1n

f(x 2)=a 0 +a 1 x 2 +a 2 x 22 +a 3 x 23 +...+a n x 2n

f(x 3)=a 0 +a 1 x 3 +a 2 x 32 +a 3 x 33 +...+a n x 3n

f(x n)=a 0 +a 1 x n +a 2 x n2 +a 3 x n3 +...+a n x nn

получим формулу Чебышева.

Значения х1,х2,..,хn для различных n приведены ниже в таблице:

n	I	t i	n	i	t i
2	1;2	± 0,577350	6	1;6	± 0,866247
3	1;3	± 0,707107	2;5	± 0,422519
2	0	3;4	± 0,266635
4	1;4	± 0,794654	7	1;7	± 0,883862
2;3	± 0,187592	2;6	± 0,529657
5	1;5	± 0,832498	3;5	± 0,321912
2;4	± 0,374541	4	0
3	0

Решение контрольного примера: f(x) = sin(x); где a = 0; при n = 5.

i	x i	y i
1	0,131489	0,131118
2	0,490985	0,471494
3	0,785	0,706825
4	0,509015	0,487317
5	0,868511	0,763367

x 1 = p /4+ p /4*t 1 = p /4+ p /4(-0,832498) = 0,131489

x 2 = p /4+ p /4*t 2 = p /4+ p /4(-0,374341) = 0,490985

x 3 = p /4+ p /4*t 3 = p /4+ p /4*0=0,785

x 4 =1- x 2 = 1-0,490985 = 0,509015

x 5 =1- x 1 = 1-0,131489 = 0,868511

y 1 = sin(x 1) = sin(0,131489) = 0,131118

y 2 = sin(x 2) = sin(0,490985)=0,471494

y 3 =sin(x 3) = sin(0,785) = 0,706825

y 4 =sin(x 4) = sin(0,509015) = 0,487317

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--