Реферат: Применение марковских процессов гибели и размножения
Граф состояний показан на рис. 1.2. Из графа видно, что процесс, протекающий в системе, представляет собой процесс «гибели и размножения».
Рис. 1.2
Схема гибели и размножения очень часто встречается в самых разнообразных практических задачах; поэтому имеет смысл заранее рассмотреть эту схему в общем виде и решить соответствующую систему алгебраических уравнений с тем, чтобы в дальнейшем, встречаясь с конкретными процессами, протекающими по такой схеме, не решать задачу каждый раз заново, а пользоваться уже готовым решением.
Итак, рассмотрим случайный процесс гибели и размножения с графом состояний, представленным на рис. 1.3
Рис. 1.3
Напишем алгебраические уравнения для вероятностей состояний. Для первого состояния S1 имеем:
(1.2)
Для второго состояния S2 суммы членов, соответствующих входящим и выходящим стрелкам, равны:
Но, в силу (1.2), можно сократить справа и слева равные друг другу члены 
и 
получим:
и далее, совершенно аналогично,
…
Одним словом, для схемы гибели и размножения члены, соответствующие стоящим друг над другом стрелкам, равны между собой:
(1.3)
где k принимает все значения от 2 до n.
Итак, предельные вероятности состояний ръ р2 > ..., рп в любой схеме гибели и размножения удовлетворяют уравнениям:
(1.4)
и нормировочному условию:
(1.5)
Решим эту систему следующим образом: из первого уравнения (1.4) выразим р2 :
(1.6)
из второго, с учетом (1.6), получим
(1.7)
из третьего, с учетом (1.7):
