Оглавление

Введение. 3

Теоретическая часть. 4

Практическая часть. 4

Заключение. 4

Собственные мысли. 4

Список литературы.. 4

Введение

В данной теоретико-практической работе будет рассмотрена схема непрерывных марковских цепей – так называемая «схема гибели и размножения»

Данная тема крайне актуальна ввиду высокой значимости марковских процессов в исследовании экономических, экологических и биологических процессов, кроме того, марковские процессы лежат в основе теории массового обслуживания, которая в настоящее время активно используется в различных экономических направлениях, в том числе управлении процессами на предприятии.

Марковские процессы гибели и размножения находят широкое применение в объяснении различных процессов происходящих в биосфере, экосистеме и т.д. Надо отметить, что данный тип марковских процессов получил свое название именно вследствие широкого применения в биологии, в частности моделируя гибель и размножение особей различных популяций.

В данной работе будут использованы процессы гибели и размножения при решении задачи, целью которой является нахождение приблизительного количества пчел в отдельно взятой популяции.

Теоретическая часть

В рамках теоретической части будут написаны алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний. Очевидно, что если две непрерывные цепи Маркова имеют одинаковые графы состояний и различаются только значениями интенсивностей ,

Рис. 1.1

то можно сразу найти предельные вероятности состояний для каждого из графов в отдельности, достаточно составить и решить в буквенном виде уравнения для одного из них, а затем подставить вместо соответствующие значения. Для многих часто встречающихся форм графов линейные уравнения легко решаются в буквенном виде.

В данной работе будет описана схема непрерывных марковских цепей — так называемая «схема гибели и размножения».

Марковская непрерывная цепь называется «процессом гибели и размножения», если ее граф состояний имеет вид, представленный на рис. 1.1, т. е. все состояния можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (S₂ , ..., S_n-1 ) связано прямой и обратной связью с каждым из соседних состояний, а крайние состояния (S₁ , S_n ) — только с одним соседним состоянием.

Для записи алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний возьмем некую задачу.

Пример. Техническое устройство состоит из трех одинаковых узлов; каждый из них может выходить из строя (отказывать); отказавший узел немедленно начинает восстанавливаться. Состояния системы нумеруем по числу неисправных узлов:

S₀ — все три узла исправны;

S₁ — один узел отказал (восстанавливается), два исправны;

S₂ — Два узла восстанавливаются, один исправен;

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--