Реферат: Призма

3) октаэдр - 8 граней, 6 вершин, 12 ребер (рис. );

4) додекаэдр - 12 граней, 20 вершин, 30 ребер (рис. );

5) икосаэдр - 20 граней, 12 вершин, 30 ребер (рис. ).

Грани додекаэдра являются правильными пятиугольниками. Диагонали же правильного пятиугольника образуют так называемый звездчатый пятиугольник (рис. ) - фигуру, которая служила эмблемой, опознавательным знаком для учеников Пифагора. Известно, что пифагорейский союз был одновременно философской школой, политической партией и религиозным братством. Согласно легенде, один пифагореец заболел на чужбине и не мог перед смертью расплатиться с ухаживавшим за ним хозяином дома. Последний нарисовал на стене своего дома звездчатый пятиугольник. Увидав через несколько лет этот знак, другой странствующий пифагореец осведомился о случившемся у хозяина и щедро его вознаградил.

Достоверных сведений о жизни и научной деятельности Пифагора не сохранилось. Ему приписывается создание учения о подобии фигур. Он, вероятно, был среди первых ученых, рассматривавших геометрию не как практическую и прикладную дисциплину, а как абстрактную логическую науку.

В школе Пифагора было открыто существование несоизмеримых величин, т. е. таких, отношение между которыми невозможно выразить никаким целым или дробным числом. Примером может служить отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны, равное Ц2. Число это не является рациональным (т. е. целым или отношением двух целых чисел) и называется иррациональным, т.е. нерациональным (от латинского ratio - отношение).

Пифагорейцы не знали других чисел, кроме рациональных. Построив диагональ квадрата, сторона которого равна 1, они констатировали, что она не может быть выражена никаким числом, так как для них не было других чисел, кроме целых и дробных. Этот факт привел в большое смущение пифагорейцев, так как в основе их философии лежало понятие о числе как основе всех вещей и явлений природы. Но вот эта великая основа - число - не в состоянии выразить длины простого отрезка в простой фигуре - диагонали квадрата. Вот почему открытие несоизмеримых величин явилось большим ударом по учению Пифагора и пифагорейцы долго его держали в строгой тайне. Согласно преданию, ученик Пифагора, раскрывший публично эту тайну, был наказан богами и погиб во время кораблекрушения. Открытие несоизмеримых величин было важным поворотным пунктом в развитии античной математики. Узнав, что существуют отношения величин, не выражаемые никакими рациональными числами, древнегреческие ученые стали представлять величины не арифметически, а геометрически, не числами, а отрезками. Таким образом, возникла геометрическая алгебра , а потом и теория отношений Евдокса.

2. Призма

Рассмотрим произвольный многоугольник, например, пятиугольник АВСDЕ (см. чертеж на стр. 25), который лежит в плоскости a. Рассмотрим теперь параллельный перенос, определяемый некоторым ненулевым вектором V, не лежащим в плоскости. Образом плоскости a будет параллельная ей плоскость b. Образом многоугольника Ф будет многоугольник Ф1=A 1B 1C 1D 1E 1, лежащий в плоскости b. Направленные отрезки AA 1, BB 1 будут параллельны, так как каждый из них изображает один и тот же вектор V. Многогранник ABCDEA 1B 1C 1D 1E 1 называют призмой.

Определение 1. Многогранник, две грани которого - одноименные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а любые два ребра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны, называется призмой.

Многоугольники Ф и Ф1, лежащие в параллельных плоскостях, называют основаниями призмы, а остальные грани - боковыми гранями .

Поверхность призмы, таким образом, состоит из двух равных многоугольников (оснований) и параллелограммов (боковых граней). Различают призмы треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д. в зависимости от числа вершин основания.

Если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют прямой ; если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют наклонной . У прямой призмы боковые грани - прямоугольники. Перпендикуляр к плоскостям оснований, концы которого принадлежат этим плоскостям, называют высотой призмы. На рис. отрезок A 1O - высота изображенной призмы.

Определение 2. Прямая призма, основанием которой служит правильный многоугольник, называется правильной призмой.

Боковое ребро прямой призмы, в том числе и правильной, есть ее высота. На рисунке изображена правильная шестиугольная призма и ее разверстка; высота этой призмы равна ее боковому ребру. Отрезок, концы которого - две вершины, не принадлежащие одной грани призмы, называют ее диагональю . Отрезок B 1D (см. рис. ) - диагональ призмы. Сечение призмы с плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не лежащих в одной грани, называют диагональным сечением призмы.

2.1 Площадь поверхности призмы

Поверхность многогранника состоит из конечного числа многоугольников (граней). Площадь поверхности многогранника есть сумма площадей всех его граней. Площадь поверхности призм (S пр) равна сумме площадей ее боковых граней (площади боковой поверхности S бок) и площадей двух оснований (2S осн) - равных многоугольников: S пр=S бок+2S осн.

Теорема. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее перпендикулярного сечения и длины бокового ребра.

Дано: АС 1 - произвольная n -угольная призма (на рисунке в качестве примера изображена четырехугольная призма), a^AA 1, A 2B 2C 2D 2 - перпендикулярное сечение (сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру), l - длина бокового ребра.

Доказать: S бок = Р Чl , где Р - периметр перпендикулярного сечения.

Доказательство. S бок= S AA 1B 1B + S BB 1C 1C + S CC 1D 1D +...

1444442444443

n слагаемых

Каждая боковая грань призмы - параллелограмм, основание которого - боковое ребро призмы, а высота - сторона перпендикулярного сечения.

Поэтому

S бок=lA 2B 2+lB 2C 2+lC 2D 2+...=(A 2B 2+B 2C 2+C 2D 2+...)l =P Чl .

S бок = Р Чl.

Теорема доказана.

Следствие. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания и высоты.

Действительно, у прямой призмы основание можно рассматривать как перпендикулярное сечение, а боковое ребро есть высота.