Реферат: Призма

В соответствии с определением параллелепипед - это четырехугольная призма, все грани которой - параллелограммы (рис. ). Параллелепипеды, как и призмы, могут быть прямыми и наклонными . На рисунке изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке - прямой параллелепипед.

Прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник, называют прямоугольным параллелепипедом . У прямоугольного параллелепипеда все грани - прямоугольники. Моделями прямоугольного параллелепипеда служат классная комната, кирпич, спичечная коробка.

Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общий конец, называют его измерениями . Например, имеются спичечные коробки с измерениями 15, 35, 50 мм. Куб - прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба - равные квадраты.

Рассмотрим некоторые свойства параллелепипеда.

Теорема. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

Дано: АС 1 (рис. ) - произвольный параллелепипед, В 1D - его диагональ, точка О - середина этой диагонали.

Доказать: Z 0(AC 1) = AC 1.

Доказательство. Рассмотрим центральную симметрию Z 0 с центром в точке О . Центральная симметрия - перемещение (сохраняет расстояния), отображающее каждый луч на противоположный ему луч. Поэтому

B 1 = Z 0(D ), B 1C 1 = Z 0(DA ), DA = B 1C 1, C 1 = Z 0(A ).

Аналогично можно показать, что точки D 1 и В , А 1 и С также центрально-симметричны. Таким образом, симметрия отображает поверхность параллелепипеда на себя. Внутренность параллелепипеда также отображает на себя (параллелепипед можно рассматривать как пересечение полупро
странств, образованных плоскостями его граней, а перемещение отображает пересечение фигур на пересечение их образов).

Таким образом, центральная симметрия Z 0 отображает параллелепипед на себя: Z0(AC1) = AC1. Теорема доказана.

Из теоремы непосредственно следуют важные свойства параллелепипеда :

1. Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Так, на рисунке A 1O =OC , B 1O =OD , D 1O =OB , AO =OC 1, а также MO =ON , где M `A 1B 1C 1D 1, N `ABCD , O `MN .

2. Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Так, на рисунке AA 1D 1D =BB 1C 1C , (AA 1D 1)П(BB 1C 1).

Рассмотренными свойствами обладает произвольный параллелепипед. Докажем одно свойство прямоугольного параллелепипеда.

Теорема. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадрата трех его измерений.

Дано: АС 1 - прямоугольный параллелепипед, чAB ч= a , чAD ч=b , чAA 1ч=c - его измерения, чAC 1ч=d - длина его диагонали.

Доказать: d 2=a 2+b 2+c 2.

Доказательство. Введем систему координат так, как показано на рисунке , приняв за ее начало вершину А , за произвольный базис тройку векторов V, b , c . Тогда вектор AC имеет координаты (a;b;c ), и, следовательно,

є

чAC ч 2= d 2=a 2+b 2+c 2.

Теорема доказана.

3. Симметрия в пространстве

Теорема, в которой утверждается, что все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке О , в которой они делятся пополам (рис ), напоминает аналогичное предложение из планиметрии: диагонали параллелограмма пересекаются в точке О , являющейся их серединой (рис. ). Точка О - это центр симметрии параллелограмма. Аналогично называют и точку О центром симметрии параллелепипеда, так как вершины А и С 1, В и D 1, С и А 1, D и В 1 симметричны относительно точки О. Впервые понятие центра симметрии встречается в ХVI в. в одной из теорем Клавиуса, гласящей: если параллелепипед рассекается плоскостью, проходящей через центр, то он разбивается пополам и, наоборот, если параллелепипед рассекается пополам, то плоскость проходит через центр. Лежандр, который впервые ввел в элементарную геометрию элементы учения о симметрии, говорит только о симметрии относительно плоскости и дает следующее определение: две точки A и B симметричны относительно плоскости a, если последняя перпендикулярна к АВ в середине этого отрезка. Лежандр показывает, что у прямого параллелепипеда имеются 3 плоскости симметрии, перпендикулярные к ребрам, а у куба 9 плоскостей симметрии, из которых 3 перпендикулярны к ребрам, а другие 6 проходят через диагонали граней.

Призма

Задачи

Литература