Реферат: Психолого-педагогические основы математического мышления

Другие аспекты развития мышления в процессе обучения (развитие логического мышления, мотивация мышления, мышление и решение задач и др.) мы еще рассмотрим в своей работе. А теперь перейдем к раскрытию специфики математического мышления, которое имеет особое значение в обучение математике.

2. Математическое мышление

Обычно, говоря о развитии мышления в процессе обучения математике, этот вопрос сводят к развитию математического мышления. Конечно это верно, т. к. естественно, что в процессе обучения математике следует в первую очередь беспокоиться не вообще о развитии мышления, а именно в развитии специфического математического мышления. Весь вопрос только в том, что понимать под математическим мышлением, в чем состоит его специфика.

К сожалению, рассматривая сущность математического мышления, или, как еще говорят, математического стиля мышления, обычно указывают такое огромное число отличительных его качеств, что всякая специфика этого вида мышления теряется. Так, например, указывают такие качества математического стиля мышления: гибкость, активность, целенаправленность, готовность памяти к воспроизведению усвоенного, широта, глубина, критичность и самокритичность, ясность, точность, лаконичность, оригинальность, доказательность.

Несомненно, что математический стиль мышления обладает всеми этими качествами и еще многими другими, но все они не являются специфическими для математического мышления. Разве мышление физика, химика или историка менее гибко, менее активно и целенаправленно, менее широко и глубоко, чем мышление математика? Точно так же трудно согласиться с тем, что математическое мышление отличается от мышления представителей других наук большей ясностью или оригинальностью. Подлинно научное мышление в любой отрасли знаний должно обладать всеми указанными свойствами.

А.Я. Хинчик, известный математик, глубоко интересовавшийся проблемами обучения математике и много сделавший в области методики математики, более скромно и более точно указал лишь четыре характерных признака математического мышления [].

1. Для математики характерно доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждения. Это своеобразная черта стиля математического мышления, в стиль полной мере не встречающаяся ни в одной другой науке, имеет в себе много ценного. Очевидно, что она в максимальной степени позволяет следить за правильностью течения мысли и гарантирует от ошибки; с другой стороны, она заставляет мыслящего при каждой дизъюнкции иметь перед глазами всю совокупность имеющихся возможностей и обязывает его учесть каждую из них, не пропуская ни одной.

1. «…лаконизм, сознательное стремление всегда находить кратчайший ведущий к этой цели логический путь, беспощадное отбрасывание всего, что не абсолютно необходимо для безупречной аргументации».

2. «…Четкая расчлененность хода аргументации». Для этого в математических работах широко используется такой простой прием, как нумерация понятий и суждений, а перед каждым абзацем ставится особое обозначение, указывающее, какой случай из всех рассматривается в данном абзаце.

3. Скрупулезная точность символики. «Каждый математический символ имеет строго определенное значение: замена его другим символом или перестановка на другое место, как правило, влечет за собой искажение, а подчас и полное уничтожение смысла данного высказывания».

Следовательно, математическое мышление – это предельно абстрактное, теоретическое мышление, объекты которого лишены всякой вещественности и могут интерпретироваться самым произвольным образом, лишь бы при этом сохранились заданные между ними отношения.

Теперь мы можем поставить вопрос: овладевают ли учащиеся общеобразовательных школ математическим мышлением в указанном понимании и могут ли они ими овладеть?

Решению этого вопроса поможет рассмотрение уровней математического мышления, которые выделил А.А. Столяр. Он указывает следующие пять уровней в геометрии, которые приведем ниже.

Геометрия

1-ый уровень

Геометрические фигуры рассматриваются как целые и различаются только по своей форме.

2-ой уровень

Геометрические фигуры выступают как носители своих свойств и распознаются по ним, но сами свойства фигур еще логически не упорядочены и сами фигуры, так как фигуры только описываются, но не определяются.

3-й уровень

Осуществляется логическое упорядочение свойств фигур и самих фигур; геометрические фигуры выступают в определенной логической связи, устанавливаемой с помощью определений, остальные свойства фигур выводятся логическим путем. Но собственное значение дедукции в целом еще не постигается, ибо не осознается дедуктивная система в целом.

4-ый уровень

Постигается значение дедукции «в целом», осознается сущность аксиом, определений, теорем, логической структуры доказательств, логической связи понятий и предложений.

5-ый уровень

Отвлекаются от конкретной природы объектов и конкретного смысла отношений между ними. Геометрическая теория строится как абстрактная дедуктивная система.

А.А. Столяр указывает, что первые два уровня характерны для учащихся начальных классов, третий уровень – для учащихся средних классов и четвертый – для учащихся старших классов. Относительно пятого уровня А.А. Столяр считает, что его достичь нельзя ни на одном этапе обучения геометрии.

Если характеристика уровней развития математического мышления, данная А.А. Столяром, верна, а она, несомненно, верна, то это означает, что в настоящее время учащиеся общеобразовательных школ овладевают в полной мере современным уровнем математического мышления. Для него как раз характерен указанный выше пятый уровень: все предшествующие уровни характерны для математического мышления различных исторических эпох примерно ХIХ века.

Утверждение же А.А. Столяра, что пятый уровень, т.е. уровень современного математического мышления, вообще недоступен учащимся общеобразовательных школ, опровергается опытом ряда школ, как у нас, так и за рубежом, а также многолетними экспериментами, проводимыми в русле теории учебной деятельности (исследования В.В. Довыдова, Хо Нгок Дай, Я. Дадоджанова и др.) Вопрос же о том, необходимо ли добиваться достижения такого уровня математического мышления у учащихся, нуждается в дальнейшем обсуждении.

3. Воспитание культуры математического мышления

Математическое мышление, которое должно быть сформировано у учащихся в процессе обучения математике, является основной частью общей культуры мышления, воспитание которой есть важнейшая задача общего образования. Математический стиль мышления в наиболее яркой форме выражает научно-теоретический стиль мышления вообще. Следовательно, при формировании такого стиля мышления в процессе обучения математике у учащихся развивается научно-теоретическое мышление.