Реферат: Расчет показателей разработки газовой залежи при упругом режиме разработки

(14)

Подставив выражения (13), (14) и (4) в уравнение неразрывности

(12) и сократив на р _ат /р_ат , получим: , (15)

где

Если сделать замену , то дифференциальное уравнение

неустановившейся фильтрации газа по двучленному закону примет

следующий вид:

Если заменить нелинейное дифференциальное уравнение (5) или (9) линейным, т.е линеаризовать его, то оно упростится, для линейного уравнения существуют точные аналитические решения. Ясно, что эти точные решения линеаризованного уравнения будут приближенными для нелинейного. Оценить погрешность решения, которая возникает при замене точного уравнения линеаризованным, можно, например, сравнивая приближенное решение с решением на ЭВМ точного уравнения.

Были предложены различные способы линеаризации уравнения (5) или (9). Если рассматривается плоскорадиальный приток к скважине, то, как известно из теории установившейся фильтрации газа, воронка депрессии очень крутая, и в большей части пласта давление мало отличается от контурного. На этом основании Лейбензон предложил заменить переменное давление р в коэффициент перед оператором Лапласа в уравнении (9) на постоянное давление р_к , равное начальному давлению в пласте. Тогда, обозначив , получим вместо уравнения (9) уравнение

, (16)

которое является линейным уравнением пьезопроводности относительно функции р² (- коэффициент пьезопроводности). Такой способ линеаризации, когда переменный коэффициент в уравнении (16) при различных значениях давления принимается константой, называется линеаризацией по Лейбензону. В дальнейшем различными авторами были предложены уточнения к линеаризации по Лейбензону. Так, И.А. Чарный предложил свести уравнение (9) к линейному заменой переменного давления в коэффициенте на значение

где p_max и p_min – максимальное и минимальное давления в газовой залежи на расчетный период.

Используем линеаризованное уравнение (16) для решения конкретной задачи о притоке газа в скважину бесконечно малого радиуса (точечный сток), расположенную в пласте бесконечной протяженности с постоянной толщиной h . В начальный момент времени пласт невозмущен, т.е. давление во всем пласте постоянно и равно p_k . С этого момента начинается отбор газа с постоянным дебитомQ _ат . Нужно найти изменение давления по пласту с течением времени p ( r , t ).

Для плоскорадиальной фильтрации газа (16) запишется следующим образом :

(17)

Здесь выражение представляет собой оператор Лапласа в полярных координатах относительно квадрата давления для плоскорадиального движения.

Уравнение (17) надо проинтегрировать при начальном условии

p ² = p ² _k при t = 0, 0<r < ∞ (18)

и при граничном условии в удаленных точках

p ² = p ² _k при r =∞ , t > 0. (19)

Выведем условие для давления на забое скважины. Для этого запишем выражение для массового дебита исходя из закона Дарси в дифференциальной форме для плоскорадиальной фильтрации:

Использовав равенства

и сократив па p _ат , получим :

Из этого соотношения выразим условие на стенке газовой скважины бесконечно малого радиуса:

при r =0. (20)

Таким образом, для решения поставленной задачи уравнение (13) должно быть проинтегрировано при условиях (18), (19) и (20).