Реферат: Распределения и меры расслоения доходов

на тему:

"Распределения и меры расслоения доходов"

Москва, 2008

Введение

Душевой доход, как уже стало ясно, варьирует довольно значительно, поэтому во всех странах стараются иметь сравнительно малые доходные группы (слои) с доходами, скажем, от 200 до 300, от 300 до 400 и т.д. и основную роль начинает играть доля людей, принадлежащих к каждой из них. Поэтому изучение вопросов распределения членов общества по доходам (или доходов по людям) имеет богатую историю и много граней. Но далее будет рассматриваться лишь один аспект этой большой проблемы: каково расслоение общества и какова мера этого расслоения. Часто вместо термина «расслоение» употребляют аналогичные, например, «дифференциация», «рассеяние» и даже «неопределенность» доходов или термины противоположного смысла, скажем, «концентрация», «сосредоточение», «определенность» и т.п.

1. Меры расслоения

Из ранее сказанного ясно, что мера расслоения должны быть тесно связаны с долей людей, имеющих доход меньший x рублей. Эта доля изучается теорией вероятностей и обычно там обозначается F(x) . Кроме того, мера расслоения должна удовлетворять некоторым требованиям:

1. Мера расслоения минимальна, когда доходы всех людей одинаковы (расслоения нет);

2. Мера расслоения увеличивается при увеличении разброса доходов;

3. Мера расслоения не зависит от единицы измерения доходов.

Требование 1 выполняется тогда, когда при одинаковых доходах значение меры минимально (удобнее, когда оно равна 0). Тогда мера расслоения положительна и тем больше, чем больше отличаются доходы разных людей друг от друга.

Наиболее полно меры расслоения изучаются теорией вероятностей, где обычно говорят не просто о мерах расслоения, а о рассеянии. Мерой рассеяния в теории вероятностей служит энтропия E распределения F(x) , которая задаётся так:

E= -M lnF’ ( x )

где x – случайная величина, распределенная по закону F(x) . Для случайных величин, душевых доходов отдельного человека, на которого в домохозяйстве приходится x₁ , x_2, …, или x_n денежных единиц, с вероятностями p₁ , p₂ ,…, p_n () , энтропия E вычисляется с помощью следующего соотношения:

Для непрерывных случайных величин, имеющих плотность f(x)=F’ (x), энтропия .

Очевидно, что для дискретных случайных величин энтропия E удовлетворяет неравенству 0 £ E £ E_m , где E_m – максимальное значение энтропии. Распределение, соответствующее E_m , можно найти, как впрочем, можно найти и распределения, соответствующие другим мерам расслоения.

2. Примеры

Пример 1. Рассмотрим доходы x_i =a+(i ‑1) h , где a – минимальный доход, а h – шаг дискретности, скажем, равный денежной единице. Если среднедушевые доходы ограничены величиной b , то всего градаций доходов будет n , где n=m+1, а m=(b -a)/h , т.е. x₁ =a , x₂ =a+h , x₃ =a+2h, …, x_n =b . Если верхнюю границу указать трудно, то будем считать, что последовательность x₁ , x₂ ,…, x_n ,… не ограничена. Пусть каждому x_i соответствует вероятность p_i (доля людей, имеющих среднедушевой доход, равный x_i ) .

а) Доходы ограничены и нужно найти такие p_i , чтобы достигала максимума. Очевидно, что . Таким образом, получена задача на условный экстремум. После дифференцирования функции Лагранжа по p_i имеем систему уравнений – lnp_i -1-l . Откуда получаем, что p_i =e^{-1- l} , т.е. одинаковы для любого i . Из уравнения получаем выражение lnn ‑1-l =0 для величины l и l= lnn ‑1 , следовательно, p_i =e^{-1- ln n +1} =e^{- ln n} =1/n . Теперь легко получить, что в этом случае, когда все величины доходов равновероятны, E_m = lnn .

б) Банковские проценты, под которые можно вложить свой капитал, если они вполнеразумны, не поддаются обоснованному ограничению сверху. Но в этой ситуации, как правило, заданы минимальные проценты – r , а также среднее значение всех процентов – b . Теперь появляется задача: найти такие p_i , которыедавали бы максимум при ограничениях и , где первые m значений p_i =0 ,а значения x_i =ih, когда i=m, m+1,… . С учетом всех ограничений функция Лагранжа будет равна

.

Принимая во внимание, что первые p₁ , p₂ ,… p_{m –} равны 0 , так как минимум процента r=hm=x_m , то можно найти (см. задачу 1)

,

где . В этом случае

=lnx /(1 ‑x ) .

в) Рассмотрим задачу из пункта а) этого примера, но в качестве меры расслоения возьмем не энтропию, а дисперсию. Попытка решить задачу так же, как в пункте а) приводит к выводу, что экстремума внутри области (симплекса и ) нет. Следовательно, задачу нужно решить на границе симплекса. Для простоты, рассмотрим какие-либо точки душевых доходов, x (не обязательно =a ) c , и y (не обязательно =b ) и соответствующие им доли людей (вероятности) обозначим p и q , оставшиеся на остальные точки x_i вероятности обозначим через (g =p+q ), т.е. 1 -g = . По сути дела задача свелась к следующей: пусть заданы три величины среднедушевого дохода x £ c £ y , которые случайно выбранный из популяции человек имеет с вероятностями p , (1 -g ) и q . В этом случае, дисперсия равна D= x ² p+ y ² q+c² (1- g ) – [ x p+ y q+c (1- g )]² . Можно показать (см. задачу 2), что

D = p (1 ‑p ) ( y -x )² – (1 -g ) [2 y ( y -x )+ g ( y ² -c ² )+2 c ( xp + yq )].

Поэтому последнее слагаемое неотрицательно и оно равно 0 при p+q=1 , т.е. при 1 -g =0. Отсюда следует, что maxD = p (1 ‑p ) ( b -a )² при заданном p , maxD = p (1 ‑p ) ( y -x )² при заданных x и y и при всех (x , y , p ) свободных параметрах.

Рассматривать аналог пункта б) для дисперсий не имеет смысла, так любое распределение, имеющее математическое ожидание при несуществующей дисперсии дает ответ.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--