Реферат: Разработка системы задач (алгоритмы-программы) по дискретной математике

а,, ^иаз

таковы, что Sk оказалось пустым, то мы возвращаемся к выбору

(к-1) компоненты, отбрасываем

а_{( k -1)} и выбираем в качестве нового a_(k-1) тот элемент S_(k-i) , который непосредственно следует за только что отброшенным. Может оказаться, что для нового a_(k-1) условия задачи допускают непустое Sk, и тогда мы пытаемся снова выбрать элемент а_к . Если невозможно выбрать a_(k-1) , мы возвращаемся еще на шаг назад и выбираем новый элемент а_(к-2) и так далее.

Графическое изображение - дерево поиска. Корень дерева (0 уровень) есть пустой вектор. Его сыновья суть множество кандидатов для выбора а1 и, в общем случае, узлы k-го уровня являются кандидатами на выбор а_к при условии, что а1, а2, ..., a_(k-1) выбраны так, как указывают предки этих узлов. Вопрос о том, имеет ли задача решение, равносилен вопросу, являются ли какие-нибудь узлы дерева решениями. Разыскивая все решения, мы хотим получить все такие узлы.

Рекурсивная схема реализации алгоритма,

procedure Backtrack(Beктop,i);

begin

if <вектор является решением> then <записать его>

else begin <вычислить Si>;

for a€Si do Васкtrаск(вектор| | a,i+l); {| | - добавление к вектору компоненты}

end; end;

Оценка временной сложности алгоритма. Данная схема реализации перебора приводит к экспоненциальным алгоритмам. Действительно, Пусть все решения имеют длину N, тогда исследовать требуется порядка | Si| *| S2| *...*| SN| узлов дерева. Если значение S; ограничено некоторой константой С, то получаем порядка C^N узлов.

Поиск данных.

Логарифмический(бинарный) поиск

Логарифмический (бинарный или метод деления пополам) по­иск данных применим к сортированному множеству элементов а₁ < а₂ < ... < а_п , размещение которого выполнено на смежной па­мяти. Для большей эффективности поиска элементов надо, чтобы пути доступа к ним стали более короткими, чем просто последова­тельный перебор. Наиболее очевидный метод: начать поиск со среднего элемента, т.е. выполнить сравнение с элементом а. Результат сравнения позволит определить, в какой половине по­следовательности а_{ , а₂ ,..., а, ₁₊ „ ,,..., а_п продолжить поиск,

применяя к ней ту же процедуру, и т.д. Основная идея бинарного поиска довольно проста, однако «для многих хороших програм­мистов не одна попытка написать правильную программу закон­чилась неудачей». Чтобы досконально разобраться в алгоритме, лучше всего представить данные а_х < а₂ < ... < а_п в виде двоичного дерева сравнений, которое отвечает бинарному поиску.

Двоичное дерево называется деревом сравнений , если для лю­бой его вершины (корня дерева или корня поддерева) выполняет­ся условие:

{Вершины левого поддерева}<Вершина корня<{Вершины правого поддерева }.

Рис . Пример дерева сравнений, отвечающего бинарному поиску среди сортированных элементов: 3,5,7,9,12,19,27,44

Т.о. бинарный поиск – это сравнение эталона х, которое осуществляется с элементом, расположенным в середине массива и в зависимости от результата сравнения (больше или меньше) дальнейший поиск проводится в левой или правой половине массива.

Используется, когда имеется какая-либо информация о массиве, например массив упорядочен по неубыванию. Общее количество сравнений имеет порядок О(N*logN).

Методы сортировки.

Сортировка слияниями.

Используется, когда необходимо объединить упорядоченные фрагменты массивов: A[k],…,A[m] и B[m+1],…,B[q] в один C[k],…,C[q], тоже упорядоченный (k<=m<=q). Основная идея решения состоит в сравнении очередных элементов каждого фрагмента, выяснении, какой из элементов меньше, переносе его во вспомогательный массив С (для простоты) и продвижении по тому фрагменту массива, из которого взят элемент. При этом следует не забыть записать в С оставшуюся часть того фрагмента, который не успел себя «исчерпать».

Метод слияний – один из первых в теории алгоритмов сортировки. Он предложен Дж. Фон Нейманом в 1945 году. Эффективность алгоритма, по Д. Кнуту, составляет С=О(N*logN).

Быстрая сортировка Хоара.

Метод предложен Ч.Э.Р.Хоаром в 1962 году.

Идея метода. В исходном массиве А выбирается некоторый элемент Х (барьерный элемент). Основной целью алгоритма является запись Х «на свое место» в массиве, пусть это будет место k, такое, что слева от Х были элементы массива, меньшие или равные Х, а справа – элементы массива, большие Х, т.е. массив А будет иметь вид: (А[1],A[2],…,A[k-1]),A[k] (X), (A[k+1],…, A[n]).

В результате элемент A[k] находится на своем месте и исходный массив А разделен на две неупорядоченные части, барьером между которыми является элемент A[k]. Дальнейшие действия очевидны – независимо сортировать полученные части по той же логике до тех пор, пока не останутся части массива, состоящие из одного элемента, то есть пока не будет отсортирован весь массив.

Графы.

Представление графа в памяти компьютера

Определим граф как конечное множество вершин V и набор Е неупорядоченных и упорядоченных пар вершин и обозначим G=(V,E). Мощности множеств V и Е будем обозначать буквами N и М Неупорядоченная пара вершин называется ребром, а упорядоченная пара - дугой. Граф, содержащий только ребра, называется неориентированным; граф, содержащий только дуги, - ориентированным, или орграфом. Вершины, соединенные ребром, называются смежными. Ребра, имеющие общую вершину, также называются смежными. Ребро и любая из его двух вершин называются инцидентными. Говорят, что ребро (u, v) соединяет вершины и и v. Каждый граф можно представить на плоскости множеством точек, соответствующих вершинам, которые соединены линиями, соответствующими ребрам. В трехмерном пространстве любой граф можно представить таким образом, что линии (ребра) не будут пересекаться.