Реферат: Решение матричных уравнений Базисный минор Ранг Действия над матрицами

Теорема 2. Матрица имеет обратную только в том случае, если она невырожденная .

Доказательство. Пусть для матрицы существует обратная , тогда . Отсюда следует, что

,

иначе единицы справа быть не может.

Теорема 3. У каждой невырожденной матрицы существует единственная обратная .

Доказательство. Пусть имеет две обратные матрицы и . Тогда

и .

Теорема 4. У каждой невырожденной квадратной матрицы существует обратная, равная .

Докажем эту теорему, вычисляя . Очевидно, что мы должны получить при этом матрицу , элементы которой находятся по формуле

.

В полученном выражении, если , то . Действительно, похоже на выражение для вычисления величины определителя. При этом элементы -ой строки умножаются на алгебраические дополнения -го столбца. Но так как эти дополнения содержат в себе -ую строку, то получается, что мы вычисляем определитель с двумя одинаковыми строками. Значит, он равен нулю.

Итак, если , то . Если же , то полученное выражение в точности соответствует формуле для вычисления определителя. Значит,

Но определяет диагональные элементы. Значит, в полученной матрице по главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы - нули. Это единичная матрица . Следовательно, и .

Отсюда следует правило вычисления обратной матрицы:

1. находим (он должен быть не равен нулю);

2. транспонируем матрицу ;

3. заменяем каждый элемент транспонированной матрицы его алгебраическим дополнением;

4. делим каждый полученный элемент на .

3. Решение матричных уравнений

Понятие обратной матрицы дает возможность решать матричные уравнения. Пусть имеется уравнение вида , где , , , - некоторые матрицы, причем - неизвестная. Для нахождения , прежде всего, необходимо перенести вправо: . Затем, пользуясь тем, что , умножим равенство на :

.

При решении подобных уравнений необходимо учитывать, с какой стороны стоит множитель при . Если уравнение имеет вид , то

.

Если же уравнение имеет множители при с обеих сторон

(), то .

4. Базисный минор и ранг матрицы

Введя понятие линейной комбинации строк и столбцов матрицы, как это было сделано у векторов, можно ввести понятие их линейной зависимости и независимости.

Определение 1. Строки , ,..., называются линейно зависимыми, если существуют числа , не все равные нулю, такие что справедливо равенство .

Здесь 0 - нулевая строка.

Определение 2. Строки называются линейно независимыми, если их линейная комбинация обращается в ноль лишь при условии, что .