Реферат: Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя

Існують прийоми, що дозволяють зводити вказані невизначеності до невизначеностей вигляду або , які можна розкривати з використанням правила Лопіталя.

1. Нехай і , тоді

(3)

За умовою при , тому при .

Якщо не прямує до 0 при , то границя в правій частині (3) не існує, а тому і границя лівої частини (3) не існує.

Якщо при , то вираз має невизначеність .

2. Нехай , , тоді має невизначеність вигляду при .

В цьому випадку поступають так:

Під знаком останньої границі маємо невизначеність .

3. Нехай , при . Тоді має невизначеність вигляду .

Позначимо . Шляхом логарифмування цієї рівності одержимо:

Отже, обчислення натурального логарифма границі зводиться до розкриття невизначеності вигляду .

4. Невизначеності вигляду та зводять до невизначеностей або шляхом логарифмування аналогічно до невизначеності вигляду .

а) Приклад 2.

Знайти границю .

Розв’язання:

Функції та диференційовані, а їх частка має невизначеність вигляду при .

Використовуючи правило Лопіталя, одержимо:

.

б) Приклад 3.

Знайти границю .

Розв’язання:

В цьому випадку маємо невизначеність вигляду . Позначимо і про логарифмуємо цю рівність. Одержимо:

, тобто невизначеність вигляду . Використовуючи правило Лопіталя, одержимо:

.

Отже, .

в) Приклад 4.

Знайти границю .

В цьому випадку маємо невизначеність вигляду . Нехай . Логарифмуючи цю рівність, одержимо:

.

Чотири рази застосували правило Лопіталя.

Отже, маємо:

Список використаної літератури:

1. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. К.82. Вища математика. Практикум. Навчальний посібник.–Київ: Центр навчальної літератури, 2005.–536с.

2. Бородин А.И., Бугай А.С., Биографический словарь деятелей в области математики. Радянська школа 1979.

3. Алгебра и начала анализа: В 2-х ч./ Под. ред. Г.Н. Яковлева.–2-е изд. –К.: Вища шк., Головное изд-во, 1984.–Ч.2. 293с.