Реферат: Розв язання систем лінійних рівнянь методом Гауса

Зауважимо, що при всіх можливих виборах значень вільних невідо­мих за допомогою системи (5) щойно описаним способом буде знайдено всі розв'язки системи 5 (Л'). Іншими словами, кожен розв'язок системи 5 (Л') можна дістати описаним способом при відповідному виборі значень вільних кевідо?»ійх. -

Нехай (г'і, ід, ..., і'„) — довільно вибраний розв'язок системи 5 (Л'). Тоді він є розв'язком також і системи (5), еквівалентної системі 5 (Л').

Отже, ^, 4ц ^*.» ••• •к єтими єдиними'значеннями головних невідомих, які дістаємо за допомогою системи (5), якщо вільним невідомим на­дати значень, що є компонентами розв'язку (/і, /д, ..., 1^).

З викладеного вище випливає справедливість таких тверджень.

Теорема 1. Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки то­ді, коли вона перетворюється'на ступінчасту систему, в якій немає рівнянь вигляду 0 == ^' (Ь Ф 0).

Теорема 2. Сумісна система лінійних рівнянь є визначеною тоді і тільки тоді, коли в ступінчастій системі, в яку вона перетворюєть­ся, число рівнянь г дорівнює числу невідомих п.

З цих теорем випливають такі наслідки.

Наслідок 1. Система п лінійних рівнянь з п невідомими е визна­ченою тоді і тільки тоді, коли вона перетворюється на ступінчасту систему, в якій а\\ =^0, 0:22 ^ 0, ..., Опп ^ 0.

•< Нехай дану систему п лінійних рівнянь з п невідомими перетво­рено на ступінчасту систему, в якій ац Ф 0, а^з Ф 0, ..., а'пп Ф 0. У такій ступінчастій системі, очевидно, немає рівнянь вигляду 0 == = Ь' (Ь' -ф. 0) і число рівнянь дорівнює числу невідомих. Тому, за теоремою 1, дана система лінійних рівнянь сумісна, а за теоремою 2, вона визначена. Навпаки, якщо дана система п лінійних рівнянь з п невідомими визначена, то за теоремою 1, у ступінчастій системі, на яку вона перетворюється, немає рівнянь вигляду 0 = Ь', (Ь' ^= 0) і, за теоремою 2, число рівнянь у ступінчастій системіїдорівнює п. Отже, в ступінчастій системі а\\ ^ О, агч ^ 0, ..., а'пп Ф 0. >•

Наслідок 2. Сумісна система т лінійних рівнянь з п невідомими Їіри т <п є невизначеною.

•^ Справді, сумісна система т лінійних рівнянь з п невідомими при т •< п перетворюється на .ступінчасту систему, в якій число рівняньг менше, ніж число невідомих п, і тому, за теоремою 2, вона є невизна­ченою. ^

Лінійне рівняння -, . і—.йй а^+а,х,+ ... +а^==6 ^: °⁰ '

називається однорідним, якщо його вільний член Ь дорівнює нулю. Система лінійних рівнянь називається однорідною лінійною системою або системою лінійних однорідних рівнянь, якщо всі її рівняння однорідні, тобто якщо всі її вільні члени дорівнюють нулю.

Застосуємо одержані вище результати до однорідної лінійної системи. Нехай дано довільну систему лінійних однорідних рівнянь

йц^і + аі2^2 + • • • + ащХп =0, 021-^1 + 022^2 4- •-• • +а2пХп = 0, ^

Ог.Л^ -т- ОтіХг — • • • + СІтпХп =-- 0. ,

Ця система сумісна, оскільки вона має нульовий розв'язок (О, О, ,.., 0).-Це узгоджується й з доведеною вище теоремою 1. Справді, оскільки всі вільні члени системи (6) дорівнюють нулю, то вона пе­ретворюється на ступінчасту систему, в якій немає рівнянь вигляду 0=о (&^0). ' - '

Якщо система (6) перетворюється на ступінчасту ,-истему,. в якій число рівнянь /• дорівнює числу невідомих п, то за теоремою2, вона має єдиний розв'язок — нульовий. Якщо ж система (6) перетворю­ється на ступінчасту систему, в якій число рівнянь ,'• у.енше, ніж число невідомих п, то множина її розв'язків нескінченна, і, отже, вона має ненульові розв'язки, тобто розв'язки, в яких деякі (а можливо й усі) компоненти відмінні від нуля.

Множина ненульових розв'язків буде нескінченною.

Теорема 3. Система лінійних однорідних рівнянь, в якій число , рівнянь менше, ніж число невідомих, має ненульові розв'язки. •

За наслідком 2, така система невизначена, тобто має нескінченну множину розв'язків, серед яких є і розв'язки, відмінні від нульового.

Приклади. 1. Розв'язати систему

х,+ х^+2х^-=- 1,

2жі+4А-2+5.їд=—8, ——

«Ї+З^X 2-^^5А: 3=—⁷ . ЗА-і4-7-«-2+9^3=—1⁵ -

Р о з в'я за н н я. Зведемо розширену матрицю цієї системи /І 1 2-1 \ | 2 4 5 —8 | | 1 3 5 —7 | \3 7 9 —15/

до ступінчастого вигляду. Перший рядок, помножений відповідно на 2, 1, 3, відні­мемо від другого, третього і четвертого рядків, дістанемо

/І 1 2 1\ 1021—61 І 0 2 3—6 1

\0 4 3 —12/

Другий рядок, помножений відповідно на 1, 2, віднімемо від третього і чет­вертого рядків, матимемо

/^{1 1 2} -^

-•--—•—•------— [02 1 —6| -...-_^і1_ : ,

'^; '^ґ " - :•'^/<:; '"^ "1002 0 |" • \- • .•^-.-і-.- . -.-

\0 0 1 О/

Третій рядок, помножений на ¹ /,, віднімемо від четвертого рядка, дістанемо

/1;1 2-1\ ; , 1 0 2 1 —6 1

і 0 0 2 01 .

д—»-— \о о о- • о/ • . .

/ Звідси випливає, що задана система ;;ікіі1них різн-таь перетворюється (після ц вилучення рівняння вигляду 0 == 0) на ступі:-:часту систему

- ^І-г ^3 + 2А'я =—1,1

2х,- х^-6,}

-\: _ 2^- 0. ] Ця система, а отже, і задана система мають єдиний розв'язок (2, —3, 0).

І, , •

2. Розв'язати снетегу " "' '

^{: г} 2хі+3^+5^-^Х^ 5, • • : Зл:і+4^+2хз+&»;4==—2, Хї+2.^+8хз- ^= 8, 7^+°-ї2+ ^+8Х4= 0. Розв'язання. Зведемо розширену матрицю до ступінчастого вигляду

(235 2 5\ /128 —1 8\ 342 3—2І(342 3 — 2 1 1 2 8 —1 8 І ""І 2 3 5 2 5 } ^791 8 О/ \7 9 1 80/

(1 2 8—1 8\ /1 2 81 8\ 0—2—22 6 —2б| |0 —2 —22 6 — 26 \ "^ 0 —1—11 4—11 і|о О 01 2}' 0 —5 —55 15 —56/ \0 О 00 9/

Отже, задана система лінійних рівнянь перетворюється на ступінчасту систему, в якій міститься рівняння 0=9, тому вона несумісна.

3. Розв'язати систему

*і+2^+3<з+ 4^+ 5х,=0, \ 2л:і+3^+4^+ 5г,+ ^,=0, | 3^+4л;24-5хз+ ^4+^=0,

•»^: 1+3л:г4-5.»;з+12^4+ 9^=0, ЗХі+бх^-{-9х,+ 17х^+10х^=0.

Розв'язання. Розширену матрицю цієї системи зведемо до ступінчастого вигляду

~1 2 3 4 5 0~ '"1 2 3 4 5 0~ 234510 0—1—2—3—90 345 1 20 ->• 0—2—^—11—130-»-1 3 5 12 9 0 0128 40

_3 69 17 10 0 00 о 5 —50 ''

~1 23 45 0~ "'1 2 3 ' 4 "5 0'"' ' -

0—1—2—3—90 012 390 ^ 0 0 0 —5 5 0 ->- 000—1 1 0 , -¹ -

0 0 0 5—50 000 000 _0 О 05—50 000 000

Отже, задана система лінійних однорідних рівнянь перетворюється на ступін­часту

^+2^-3^+4^+5^=0, ) ," ^.+2^з+3^+9^=0, - ^

— *-4+ •<'5=0. )

Вважати-мемо невідомі х^, х,., х^ основними, а невідоміХу, х^ — вільними. Нехай Хз '⁼ '^х , х, = р. ?- .останньої системи знаходимо х^ == v. -+• 15р, х, == —2а— 12р, 4= Р.^ , ., ^ , : ,•,,

Викладений вище метод розв'язування систем лінійних рівнянь називається методом Гаусса, або методом послідовного виключення невідомих. Цей метод досить зручний для розв'язування вручну систем лінійних рівнянь з невеликою кількістю невідомих. Він з ус­піхом може бути використаний також для розв'язування лінійних систем на ЕОМ, проте часто для цього ефективнішими виявляються інші методи, наприклад, ітераційні (послідовних наближень). Так, зокрема, буває тоді, коли коефіцієнти і вільні члени системи є дійсні числа, знайдені вимірюванням деяких фізичних величин, і, отже, відомі наближено, з певним ступенем точності, тоді й розв'язки систе­ми, природно, знаходимо також з певним ступенем точності.