Реферат: Розв язання систем лінійних рівнянь методом Гауса
Кафедра комп ’ютерних
дисциплін
Реферат з дисципліни
Алгоритми мови та програмування
Розв ’язання систем
лінійних
рівнянь методом Гауса
Виконав:
Студент групи 1-кн-2
Григорчук Володимир
Прийняв:
Яремчук Богдан Ярославович
Коломия 1999
Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса.
а) Зведення системи лнийних рівнянь до ступінчастого вигляду.
Перейдемо до вивчення питания (про розв'язування систем ліній рівнянь. Нехай дано довільну систему т лінійних рівнянь з п невадомими.
a 11 x 1 +a 12 x 2 + ……+ a 1n x n = b 1 ,
a 21 x 1 +a 22 x 2 + ……+ a 2n x n = b 2 ,
………………………………..
a m1 x 1 +a m2 x 2 + …..+ a mn x n = b m ,
У цій системі, принаймні, один з коефіцієнтів a i 1 (i = 1,2,...,m) відмінний від нуля, бо в противному paзi система (1) не була б системою з п невідомими. Якщо a 11 = 0, а, наприклад, a s 1 ¹ 0, то переставивши перше is -те рівняння, дістанемо систему, еквівалентну системі (1). У першому piвнянні цієї системи коефіцієнт при невідомому x 1 буде відмінний від нуля. Тому вважатимемо, що в системі (1) а11 ¹ 0.
Випишемо розширену матрицю системи (1), відокремивши для зруч-ності вертикальною рискою стовпець вільних членів:
a11 a12 … a1n b1
a21 a22 … a2n b2
………………….
am1 am2 … amn bm
Застосовуючи елементарні перетворення рядків, зведемо матрицю (2) до ступінчатого вигляду. Дістанемо деяку ступінчасту матрицю.
Ā' = (a' ik |b' i ) розміру mx (n + 1). Позначимо символом S ( Ā ') систему лінійних рівнянь, розширеною матрицею якої е ступінчаста матриця
Ā' = (a' ik |b' i ).
Систему лінійних рівнянь, розширена матриця якої ступінчаста, також називають ступінчастою . Про ступінчасту систему говорять, що вона має ступінчастий вигляд. За теоремою 1.2 ступінчаста система S ( Ā ') еквівалентна системі(1).
Перетворення системи лінійних рівнянь в еквівалентну їй ступінчасту систему називають зведенням системи лінійних рівнянь до ступінчастого вигляду.
Отже, описаним вище способом кожну систему лінійних рівнянь можна звести до ступінчастого вигляду. Всюди далі, говорячи про перетворення системи лінійних рівнянь у ступінчасту систему, ми розумітимемо під цим перетворення лінійної системи в е к в і в а л е н т -
н у їй ступінчасту систему.
б) Розв'язування системи лінійних рівнянь. Система лінійних рівнянь (1) еквівалентна ступінчастій системі S ( Ā '). Тому розв'язування системи (1) зводиться до розв'язування системи S ( Ā '). При цьому можливі такі два випадки:
1. У розширеній матриці Ā ' = (a' i |b' i ) системи S ( Ā ') є рядок, в якому першим відмінним від нуля елементом є його .останній елемент.
2. У матриці Ā ' такого рядка немає. У першому випадку в системі S ( Ā ') міститься рівняння вигляду 0 •x 1 + 0 •x 2 + … + 0 •х n = b , b ¹ 0 (скорочено його записують 0 = b ). Оскільки жодна система чисел (l 1, l 2, …, ln ) не може задовольняти рівняння 0 = b ( b ¹ 0), то система рівнянь S ( Ā ') несумісна.
Розглянемо другий випадок. Нехай ступінчаста матриця S ( Ā ') містить r ненульових рядків і перші ненульові елементи цих рядків знаходяться в стовпцях з номерами k 1 = 1, k 2 , k 3 , …, kr . З означення ступінчастої матриці випливає, що 1 = k 1 <k 2 < … <kr <n .
Всі рівняння системи S ( Ā ') , які мають вигляд 0 •x1 + 0 •x2 + ... + 0 •х n = = 0, відкинемо. Дістанемосистему S ( Ā ' ' ) , еквівалентну системі S ( Ā ') . Невідомі х1 , xk , xk 2 , ...,х kr , з яких починаються перше, друге, ..., r -те рівняння системи S ( Ā '') , назвемо головними, а всі інші (якщо вони є) —вільними.
Припустимо спочатку, що вільних невідомих немає. Тоді r =п, k 1 = 1,
k2 = 2,k3 = 3, ...,kn =n, і система S(Ā'') має вигляд
a'11 x1 + a'12 x2 + … + a'1(n-1) xn-1 + a'1n xn = b'1 ,
a'22 x2 + … + a'2(n-1) xn-1 + a'2n xn = b'2 ,
…………………………………………………………
a'(n-1)(n-1) xn-1 + a'(n-1)n xn = b'n-1 ,
a'nn x = b'n ,
(a11 ¹ 0, a22 ¹ 0, …, ann ¹ 0).
З останнього рівняння системи (3) знаходимо ділком певне значення невідомого xп . Підставивши його в передостаннє рівняння
системи (3), знайдемо відповідно одне значення невідомого xn -1 . Тоді таким жеспособом послідовно дістанемо єдині значення невідомих xп-2 , x п-з , …,х 2 , x 1 . Добуті таким чином значення невідомих x1 , x2 , …, xn cтановлять, очевидно, єдиний розв'язок системи (3). Отже, в розглядуваному випадку система S ( Ā ' ' ) , а також і система S ( Ā ') , сумісні й визначені. Припустимо тепер, що вільні невідомі є. Тоді система має вигляд
a'11 x1 + … + a'1k2 xk2 + … + a'1kr xkr + … + a'1n xn = b'1 ,
a'2k2 xk2 + … + a'2kr xkr + … + a'2n xn = b'2 ,
…………………………………………..……
a'rk xkr + a'(n-1)n xn = b'n-1 ,
a'nn x = b'n ,
(a11 ¹ 0, a22 ¹ 0, …, ann ¹ 0).
Позначимо символом б( суму всіх членів і'-го рівняння системи (4), що містять в}льні невідомі. Перенісши члени з вільними невідомими в праві частини рівнянь, дістанемо систему
а[іх^ + а^хь, + ••• +а'іі,^=Ь[—і^,
аг^іг, — • • • +аих^ =Ьі — ^2, ,е\
а-г^х^ ==Ьг— І-,г, \
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--