Реферат: Система натуральных чисел. Принцип математической индукции. Теоремы математической индукции

- истина.

(- истины ®- истина).

Тогда предикат тождественно истинен на .

п.3. Основное свойство ассоциативных операций.

Теорема. Если бинарная операция на множестве ассоциативна, то при любой расстановке скобок, задающих порядок выполнения операций в произведении значения произведений будут одинаковыми, то есть значение произведения не зависит от способа расстановки скобок.

Доказательство. Проводится индукцией по . Проверим утверждения теоремы для и .

Для - очевидно, так как порядок выполнения операций единственен.

Для произведение может быть вычислено двумя способами: или . В силу ассоциативности - эти произведения равны.

Предположим, что теорема доказана для всех чисел , где .

Докажем теорему для числа . При любой расстановке скобок в произведении , такое произведение есть произведение двух скобок (1), где . Внутри каждой скобки расставлены свои скобки. Так как в каждой скобке множителей, то по индукционному предположению значение произведения в скобках не зависит от того, как в них расставлены скобки. Поэтому произведение (1) можно записать в виде , применяя закон ассоциативности и индукцирования к множителям. Получим, что произведение (1) равно и так далее продолжая, получим , поэтому произведение (1) не зависит от способа расстановки скобок.

Список литературы

Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002

В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001