Реферат: Современное состояние математического и программного обеспечения квантильно-регрессионных мод

Львович И.Я., Минакова О.В.

Квантильная регрессия широко используемый статистический метод в эконометрике, в финансовых и биомедицинских исследованиях, при изучении окружающей среды и других прикладных областях. В связи с появление новых вычислительных процедур, высокопроизводительных алгоритмов актуальность ее примнения будет только расти.

Квантильная регрессия довольно «старинный» статистический метод, упоминание этого термина в математической статистике датируется еще 19 веком. Во многом его «забвение» связано с широкой распространенностью метода наименьших квадратов, и как следствие преобладающие применение линейной регрессии. Ставшее сейчас классическим определение квантильной регрессии было введено Коенкером и Бассетом в 1978, как расширение понятия порядковых квантилей или процентилей в локальных моделях к общему классу линейных моделей в которых условные квантили имели линейную форму.

По аналогии с нахождением условного среднего из выборки объема n, которое можно рассматривать как решение задачи минимизации остаточной суммы квадратов: , m – выборочное среднее, оцениваемое по этой выборке, то поиск медианы может быть осуществлен как минимизация суммы абсолютных остатков.

Если для медианы отрицательные и положительные остатки равны, т.е. симметричны относительное нее, то для квантилей они должны лежать в пропорции t к (1-t), т.е. асимметрично. Следовательно, отрицательные и положительные остатки имеют различный вес, зависящий от порядка квантили t. Так положительные остатки имеют вес t, а отрицательные – (t-1), и их сумма должна стремиться к нулю.

Таким образом, нахождение квантили q заданного порядка t можно рассматривать как поиск аргумента минимума специальной целевой функции:

,

где – контрольная функция, обеспечивающая t-баланс наблюдаемых значений и заданная в виде:

. Иллюстрация определения этой функции представлена на рисунке.

По аналогии с регрессионным анализом можно перейти к определению квантильно-регрессионных функций , каждая из которых представляет собой некоторую регрессию условной квантили . Тогда построение квантильно-регрессионных моделей можно рассматривать как задачу оценки параметров функций и находить решение минимизацией:

(1)

Решение представленной минимизационной проблемы, когда – линейная функция с неизвестными параметрами, эффективно осуществляется методами линейного программирования.

В частности, линейная квантильно-регрессионная модель (Buchinsky? 1998) задается или ,

где b – неизвестный вектор регрессионных параметров, оценивается как решение минимизационной задачи:

– неизвестный вектор ошибок, так что условная квантиль порядка t от его значений равна нулю.

На практике широкое распространение получило оценивание квантильной регрессии методом максимального правдоподобия. Но для его использования необходимо, чтобы априорно была известная функция распределения, поэтому первый подход к построению квантильно-регрессионных моделей базируется на выборе подходящего теоретического распределения и комбинирование подбора параметров распределения с методами сглаживания для вычисления условных квантильных функций. Этот подход, базирующийся на оценке параметров «известного» распределения получил название параметрический.

Самый известный параметрический метод – LMS, основанный на трансформации исходных значений наблюдений к нормальному. Коул и Грин (Cole and Green, 1992) предложили использовать трансформацию Бокса-Кокса к исходным измерениям для получения нормальности трансформированных значений. Поскольку было принято предположение о нормальности распределения, то использовались оценки максимального правдоподобия для параметров среднего (М) и СКО (S), как достаточных для описания этого распределения и дополнительного параметра трансформации (L).

В исходной работе [] сглаживание всех трех функций, описывающих модель производилось отдельно с помощью сплайнов и выбор модели сводился к подбору оптимального числа узлов каждой из трех функций. В дальнейшем использовались различные модификации, так Yee (1998) предложил оценивать все три функции совместно вектором сплайнов [0].

В качестве альтернативы нормальному распределению предлагалось использовать t-распредление Стьюдента [], гамма-распредление []. В работе [0] предлагается использовать степенное экспоненциальное распределение Box-Tiao или общих ошибок [Ошибка! Источник ссылки не найден. ], которое является общим вариантом задания различных одномодальных распределений от нормального до равномерного, для данных, имеющих слишком большой эксцесс после использования трансформации Бокса-Кокса.

Имеется множество вариацией этого подхода, направленные как на усложнение трансформации, так и трансформации к другим видам распределений, характерным для конкретной прикладной задачи.

При отсутствии априорной информации о форме распределения предложены непараметрические квантильно-регрессионные модели. В частности, обсуждается вопрос об использовании ядерного оценивания функции условного распределения и получение условной квантили обращением этой функции. Решая вычислительную проблему обращения оцененной функции условного распределения Yu and Jones (1998) использовали двойную ядерную аппроксимацию, как минимизацию [Ошибка! Источник ссылки не найден. ]:

,

где n=n(х) – оценка квантильной регрессии,

К – ядро с заданной шириной окна h.

Соответствующая функция реализована Yu для пакета S-PLUS, разработанный алгоритм гарантирует сходимость.

Наибольшее количество реализаций квантильной регрессии на сегодняшний день в специальном статистическом ПО – SAS, в котором реализованы – симплекс-алгоритм (Koenker and d’Orey, 1993), алгоритм с внутренней точкой (interior point, Portnoy and Koenker, 1997), сглаживающий алгоритм (Chen 2003), основанные на преобразовании (1) в задачу линейного программирования.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--