Реферат: Стереометрия. Тема Движение
29.10.1995 ã.
Øêîëà # 1278, êë. 11 “”.
Äâèæåíèÿ. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ôèãóð.
Ïðè ñîçäàíèè ðåôåðàòà áûëè èñïîëüçîâàíû ñëåäóþùèå êíèãè:
1. “Ãåîìåòðèÿ äëÿ 9-10 êëàññîâ”. À.Ä.Àëåêñàíäðîâ, À.Ë.Âåðíåð, Â.È.Ðûæèê.
2. “Ãåîìåòðèÿ”. Ë.Ñ.Àòàíàñÿí, Â.Ô.Áóòóçîâ, Ñ.Á.Êàäîìöåâ è äð.
3. “Ìàòåìàòèêà”. Â.À.Ãóñåâ, À.Ã.Ìîðäêîâè÷.
Âñå ðèñóíêè íàõîäÿòñÿ íà îòäåëüíîì ëèñòå, ïðèëîæåííîì ê ðåôåðàòó. Ðåøåíèÿ çàäà÷ òàêæå íà îòäåëüíîì ëèñòå. Äîêàçàòåëüñòâà îñíîâíûõ òåîðåì, ñâÿçàííûõ ñ äâèæåíèåì, ÿ òàêæå ïðèâîæó íà îòäåëüíûõ ëèñòêàõ. Â ðåôåðàòå - òîëüêî îïðåäåëåíèÿ è êëàññèôèêàöèÿ.
Äâèæåíèåì â ãåîìåòðèè íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå, ñîõðàíÿþùåå ðàññòîÿíèå. Ñëåäóåò ðàçúÿñíèòü, ÷òî ïîäðàçóìåâàåòñÿ ïîä ñëîâîì “îòîáðàæåíèå”.
1. Îòîáðàæåíèÿ, îáðàçû, êîìïîçèöèè îòîáðàæåíèé.
Îòîáðàæåíèåì ìíîæåñòâà M â ìíîæåñòâî N íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ýëåìåíòó èç M åäèíñòâåííîãî ýëåìåíòà èç N.
Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî îòîáðàæåíèå ôèãóð â ïðîñòðàíñòâå. Íèêàêèå äðóãèå îòîáðàæåíèÿ íå ðàññìàòðèâàþòñÿ, è ïîòîìó ñëîâî “îòîáðàæåíèå” îçíà÷àåò ñîîòâåòñòâèå òî÷êàì òî÷åê.
Î òî÷êå X’, ñîîòâåòñòâóþùåé ïðè äàííîì îòîáðàæåíèè f òî÷êå X, ãîâîðÿò, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì òî÷êè X, è ïèøóò X’ = f(X). Ìíîæåñòâî òî÷åê X’, ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàì ôèãóðû M, ïðè îòîáðàæåíèè f íàçûâàåòñÿ îáðàçîì ôèãóðû M è îáîçíà÷àåòñÿ M’ = f(M).
Åñëè îáðàçîì M ÿâëÿåòñÿ âñÿ ôèãóðà N, ò.å. f(M) = N, òî ãîâîðÿò îá îòîáðàæåíèè ôèãóðû M íà ôèãóðó N.
Îòîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì , åñëè ïðè ýòîì îòîáðàæåíèè îáðàçû êàæäûõ äâóõ ðàçëè÷íûõ òî÷åê ðàçëè÷íû.
Ïóñòü ó íàñ åñòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå f ìíîæåñòâà M íà N. Òîãäà êàæäàÿ òî÷êà X’ ìíîæåñòâà N ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì òîëüêî îäíîé (åäèíñòâåííîé) òî÷êè X ìíîæåñòâà M. Ïîýòîìó êàæäîé òî÷êå X’ Ì N ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå òó åäèíñòâåííóþ òî÷êó X Ì M, îáðàçîì êîòîðîé ïðè îòîáðàæåíèè f ÿâëÿåòñÿ òî÷êà X’. Òåì ñàìûì ìû îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà N íà ìíîæåñòâî M, îíî íàçûâàåòñÿ îáðàòíûì äëÿ îòîáðàæåíèÿ f è îáîçíà÷àåòñÿ f. Åñëè îòîáðàæåíèå f èìååò îáðàòíîå, òî îíî íàçûâàåòñÿ îáðàòèìûì.
Íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ j íàçûâàåòñÿ òàêàÿ òî÷êà A, ÷òî
j(A) = A.
Èç äàííûõ îïðåäåëåíèé íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî åñëè îòîáðàæåíèå f îáðàòèìî, òî îáðàòíîå åìó îòîáðàæåíèå f òàêæå îáðàòèìî è (f ) = f. Ïîýòîìó îòîáðàæåíèÿ f è f íàçûâàþòñÿ òàêæå âçàèìíî îáðàòíûìè.
Ïóñòü çàäàíû äâà îòîáðàæåíèÿ: îòîáðàæåíèå f ìíîæåñòâà M â ìíîæåñòâî N è îòîáðàæåíèå g ìíîæåñòâà N â ìíîæåñòâî P. Åñëè ïðè îòîáðàæåíèè f òî÷êà
X Ì N ïåðåøëà â òî÷êó X’ = f(X) Ì N, à çàòåì X’ ïðè îòîáðàæåíèè g ïåðåøëà â òî÷êó X’’ Ì P, òî òåì ñàìûì â ðåçóëüòàòå X ïåðåøëà â X’’ (ðèñ.1).
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå h ìíîæåñòâà M â ìíîæåñòâî P. Îòîáðàæåíèå h íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèåé îòîáðàæåíèÿ f ñ ïîñëåäóþùèì îòîáðàæåíèåì g.
Åñëè äàííîå îòîáðàæåíèå f îáðàòèìî, òî, ïðèìåíÿÿ åãî, à ïîòîì îáðàòíîå åìó îòîáðàæåíèå f , âåðíåì, î÷åâèäíî, âñå òî÷êè â èñõîäíîå ïîëîæåíèå, ò.å. ïîëó÷èì òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå , òàêîå, êîòîðîå êàæäîé òî÷êå ñîïîñòàâëÿåò ýòó æå òî÷êó.
2. Îïðåäåëåíèå äâèæåíèÿ.
Äâèæåíèåì (èëè ïåðåìåùåíèåì) ôèãóðû íàçûâàåòñÿ òàêîå åå îòîáðàæåíèå, ïðè êîòîðîì êàæäûì äâóì åå òî÷êàì A è B ñîîòâåòñòâóþò òàêèå òî÷êè A’ è B’, ÷òî |A’B’| = |AB|. (ðèñ.2).
Òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ äâèæåíèÿ .
Ôèãóðà F’ íàçûâàåòñÿ ðàâíîé ôèãóðå F, åñëè îíà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç F äâèæåíèåì.
3. Îáùèå ñâîéñòâà äâèæåíèÿ.
Ñâîéñòâî 1 (ñîõðàíåíèå ïðÿìîëèíåéíîñòè ).
Ïðè äâèæåíèè òðè òî÷êè, ëåæàùèå íà ïðÿìîé, ïåðåõîäÿò â òðè òî÷êè, ëåæàùèå íà ïðÿìîé, ïðè÷åì òî÷êà, ëåæàùàÿ ìåæäó äâóìÿ äðóãèìè, ïåðåõîäèò â òî÷êó, ëåæàùóþ ìåæäó îáðàçàìè äâóõ äðóãèõ òî÷åê (ñîõðàíÿåòñÿ ïîðÿäîê èõ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ).
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ïëàíèìåòðèè èçâåñòíî, ÷òî òðè òî÷êè A, B, C ëåæàò íà ïðÿìîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îäíà èç íèõ, íàïðèìåð òî÷êà B, ëåæèò ìåæäó äâóìÿ äðóãèìè - òî÷êàìè A è C, ò.å. êîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
|AB| + |BC| = |AC|.
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--