Реферат: Свойства функций предпочтения

Таким образом, выполнение требований такого взаимодействия факторов, которое выражается гипотезой 2 о самовозмещении, позволяет еще больше уточнить функцию предпочтения (привлекательности). Но это уточнение означает только, что всегда можно оставить той же самой привлекательность новой группы, возникшей из-за изменения в ней какого-либо фактора, изменением того же самого фактора в старой. Однако остается открытым вопрос о выравнивании привлекательности из-за изменения одного фактора, например, дохода путем изменения других факторов, например, экологических и жилищных условий. В данном случае все зависит от вида произвольной функции F (z₁ , z₂ ,…., z_m ), определяющей привлекательность (предпочтение).

Если же заведомо ясно, что все факторы x (и, соответственно, y ) можно разделить на несколько совокупностей так, что эффективность действия на предпочтения отдельного человека факторов из одной не подвержены влиянию факторов из другой, то возникает задача: может ли такое свойство независимости эффективности факторов из одной совокупности от значений из другой (или короче независимости по эффективности ) дать возможность уточнить функцию предпочтения. Не уменьшая общности, можно начать с двух совокупностей x =(x ₁ , x ₂ ) (y =(y ₁ , y ₂ )). Затем, разбивая при возможности одну из них на две части, получим три совокупности и так далее.

Примером возможности разбиения факторов на две совокупности могут служить такие: первая – экологические показатели, вторая – показатели криминальной обстановки. Действительно, разве может повлиять на эффективность действия чистоты (или загрязненности) воды на предпочтения отдельного человека, величина другого фактора – количества хищений автомобилей. И, наоборот, эффективность действия такого параметра, как количество автомобильных краж, вряд ли измениться из-за увеличения или уменьшения загрязненности воды. Другими словами, чистота воды и количество автомобильных краж не изменяют силу влияния (эффективность) друг друга на привлекательность, хотя и оказывают влияние на предпочтения отдельного человека.

Определение. Совокупности факторов x ₁ (y ₁ ) и x ₂ (y ₂ ), образующих полный набор x =(x ₁ , x ₂ ) [y =(y ₁ , y ₂ )], независимы по эффективности, если величина изменения привлекательности при изменении факторов одной совокупности не зависят от значений факторов другой.

Математически независимость по эффективности означает, что – величина изменения привлекательности при изменении (эффективности) факторов из одной совокупности G_i (i=1,2,), где G₁ È G₂ ={1,2,…, m} и G₁ Ç G₂ = Æ , не изменяется при изменении факторов из другой – G_j (i ¹ j) ; т. е. e_i ( x , y )=e_i ( x _i , y _i ) или

" i, j=1,2. (2.4)

Теорема 2. Разбиение факторов x и y , на две совокупности (x ₁ , x ₂ ) [x =(x ₁ , x ₂ )] и (y ₁ , y ₂ ) [y =(y ₁ , y ₂ )] независимых по эффективности, существует тогда и только

тогда, когда функция привлекательности

f ( x , y )= F ₁ ( x ₁ , y ₁ )+ F ₂ ( x ₂ , y ₂ ). (2.5)

Следствие 1. Все факторы x ( y ) независимы по эффективности тогда и только тогда, когда

f ( x , y )=. (2.6)

Достаточность условий (2.5) и (2.6) теоремы 2 и следствия 1 для выполнения (2.4) проверяется простым дифференцированием, а необходимость (2.4) следует из решений системы дифференциальных уравнений (2.4) в частных производных, которые имеют общий вид, приведенный в (2.5). Соотношение (2.6) получается из (2.5), в случае, когда вначале отщепляется x₁ (y₁ ) в качестве множества G₁ , затем из оставшегося множества G₂ выделяется x₂ (y₂ ) и т. д. пока в G₂ не остается один последний фактор x_m (y_m ) .

Следствие 2. Для независимых по эффективности факторов гипотезы 1 о совпадении и 2 о самовозмещении выполнены, когда

f ( x , y )= F _s [ f _s (y_s ) -f _s (x_s )]; (2.7)

и, наоборот, из (2.7) следует, что справедлива гипотеза 1, все факторы x ( y ) независимы по эффективности и для любого из них выполнена гипотеза 2.

3. Примеры конкретных функций . Теорема 1 и следствия 1 и 2 позволяет ограничить класс функций привлекательности от факторов, которые на практике либо просто равны. либо пропорциональны интенсивностям перехода l _ij . Разберем несколько примеров, в которых будет рассмотрено попарное изменение факторов, независимо от значений всех остальных, предполагаемых фиксированными.

Пример 1. Пусть привлекательности, пропорциональные интенсивностям перехода, не меняются, если факторы x₁ и y₁ . меняются на одну и ту же величину. Тогда из гипотезы 2, точнее из (2.1) следует, что dx₁ =dy₁ . откуда получается., а функции y ₁ (z)= f ₁ (z)=z . В этом случае из теоремы 1 следует, что привлекательность будет зависеть от разностей y₁ - и x₁ первых компонент кортежей факторов x и y . Это значит, что l _ij µ F (y₁ -x₁ ,…), где символ µ обозначает пропорциональность. Примером таких факторов могут служить координаты, определяющие расстояния.

Пример 2. Пусть факторы x₂ и y₂ в некоторых двух группах, например, отраслях экономики, меняются так, что их относительные приращения dx₂ /x₂ и dy₂ /y₂ одинаковы, т. е. dx₂ /x₂ =dy₂ /y₂ , и при этом не меняется привлекательность отрасли, предлагающей условия y для человека, находящегося на уровне x . Тогда привлекательности переходов между ними l _ij зависят лишь от отношения факторов y₂ /x₂ . Это следует из того, что из гипотезы 2 получаем y ‘₂ (z)= . Тогда функции y ₂ (z)= f ₂ (z)= lnz и общий интеграл дифференциального уравнения (2.2) равен lny₂ -lnx₂ = ln(y₂ /x₂ ) =const. Другими словами, из постоянства предпочтений, следовательно, и движения (т. е. постоянства интенсивностей перехода, когда остальные параметры не меняются) при пропорциональном к уже достигнутым уравнениям приращениям факторов следует, что l _ij µ F (…, y₂ -/x₂ ,…). Заработки людей в отраслях, на предприятиях или регионах служат примером таких благ-факторов подвижности.

Пример 3. Если неизменны предпочтения, определяющие интенсивности перехода, при отношении приростов факторов x₃ и y₃ , обратно пропорциональных к отношению уровней, ими уже достигнутых, т. е. dx₃ /dy₃ =1/(x₃ /y₃ ) или x₃ dx₃ =y₃ dy₃ . Тогда из условия (2.1) гипотезы 2 следует, что y ‘₃ = , а y ₃ (z)= f ₃ (z)=2z² . Из результата теоремы 1 теперь имеем l _ij µ F (…, ,…). Это значит, что движение зависит от разности квадратов достигнутых уровней факторов. Возможно, именно такова зависимость отношения честолюбивого человека к престижу должности.

Пример 4. Пусть m=3 и функции F _l (l=1,2,3), фигурирующие следствии 2, линейны, т. е. F _l (z)=a_l +b_l z. Если для теоремы 1 F ( z )=a+ b ^T z , тогда результирующие функции F от трех аргументов и для следствия 2 и для теоремы 1 совпадают и равны

F (z₁ , z₂ , z₃ )=a+b₁ z₁ +b₂ z₂ +b₃ z₃ .

где для следствия 2 a=a₁ +a₂ +a₃ . а) Допустим, что все факторы удовлетворяют примеру 1. Тогда, если факторами x человек обладает в группе i, а факторы y ему предложены в группе j , то интенсивность его перехода на новое место будет пропорциональна

f ( x , y )=a+b₁ (y₁ -x₁ )+b₂ (y₂ -x₂ )+ b₃ (y₃ -x₃ ).

б) Если же первый фактор удовлетворяет примеру 1, второй – примеру 2, а третий – примеру 3, то интенсивность переходов одинаково относящихся в силу гипотезы 1 к благам-факторам людей их групп i в группу j будет

l _ij µ f ( x , y )=a+b₁ (y₁ -x₁ )+b₂ ln(y₂ /x₂ )+b₃ (y -x).

Пример 5. Пусть m=3 и все три фактора удовлетворяют примеру 2, а функция фигурирующая в теореме 1 такова

F (z₁ , z₂ , z₃ )= exp (a+b₁ z₁ +b₂ z₂ +b₃ z₃ ).

Тем самым предполагается, что нет независимости по эффективности (см. задачу 2). Тогда интенсивности l _ij переходов пропорциональны таким функциям от факторов:

f ( x , y )= exp [a+b₁ ln(y₁ /x₁ )+b₂ ln(y ₂ /x₂ )+b₃ ( ln(y₃ /x₃ )]=