Реферат: Свойства функций предпочтения

Введение

Представляется, что на самом деле причинная зависимость скорее обратная: уровень качества жизни определяет большинство демографических характеристик от рождаемости, здоровья, заболеваемости и т. д. до смертности. Таким образом, задача ставится так: определить значение аргумента – уровня качества жизни, зная много значений одной функции от разных аргументов – значений этих уровней. Но пока задача сильно упрощена, так как качество жизни связано также с экологической обстановкой, обеспеченностью населения разного сорта благами, наконец, с политической ситуацией. Но все отмеченные факторы и довольно неясные, расплывчатые зависимости люди ощущают и проявляют в своем поведении, выбирая, например, при переходах лучшие условия (качество) жизни.

Одним из проявлений такого выбора является движение населения в любых его формах: механических, социальных, профессиональных и т. д., когда люди переходят из группы в группу, «голосуя ногами» за лучшее качество жизни, выбирая лучшее из предлагаемых им. Таким образом, движение населения может служить основой для выявления многих характеристик групп, в том числе и качества жизни в них. Поэтому необходимо, в первую очередь если развивать высказанную точку зрения, выявить зависимость предпочтений, проявляющуюся в подвижности как всего населения, так и, прежде всего, отдельного человека, от обладаемых им характеристик x , и возможностей его выбора y .

Если не будет оговорено противное, далее всегда будет предполагаться, что человек x принадлежит к группе i , а предлагаемое ему место y , находится в группе j. Но прежде чем двигаться дальше, нужно отметить связь предпочтений людей и вероятностей (интенсивностей) их передвижений, которые также как предпочтения сами не наблюдаются, но для оценок вероятностей уже имеются подходы, включающие методы статистики движения человеческих ресурсов, вообще, и рабочей силы, в частности.

Очевидно, если нет людей, обладающих условиями x в группе i и предпочитающих условия y в группе j , то нет и переходов из i в j . Следовательно, при y худших, чем x вероятность (интенсивность) перехода из i в j равна 0, т. е. как вероятность перехода, так и предпочтения людей зависят от x и y . Более того, чем выше предпочтения, тем больше интенсивность перехода, поэтому последние либо пропорциональны первым, либо зависят от них монотонно возрастающим образом. Итак, следует начинать с исследования функций предпочтения, а затем переходить к виду зависимости вероятностей или интенсивностей от этих предпочтения. Уточнению вида функций предпочтения отдельного человека будет посвящено дальнейшее исследование этой главы.

1. Основные предположения

Далее для ясности изложения материала будем использовать достаточно гладкую функцию предпочтения f ( x, y ) , т. е. не только непрерывную, но и непрерывно дифференцируемую, если это необходимо, столько раз, сколько это покажется нужными. По окончательному результату будем судить насколько обоснованы первоначальные предположения, так как скачки в результатах могут возникать не только из-за отсутствия непрерывности функции, но и из-за дискретности используемых значений аргументов.

До сих пор нигде не подчеркивалось, что различные люди могут реагировать на факторы подвижности по разному. поэтому функции привлекательности, фигурирующие в всех последующих соотношениях, могут быть у различных людей разными. При практических расчетах функции привлекательности обычно параметризуют. Чтобы параметры не изменялись от человека к человеку их считают одинаковыми, оправдано или нет полагая, что вся зависимость от конкретного человека уже заложена в факторы x , т. е. выполнено следующее допущение.

Гипотеза 1 (о совпадении) . Все люди реагируют на факторы y , определяющие их условия жизни и работы, сходным образом, т. е. предпочтения зависят от самого человека только через x , поэтому, зависимость функции привлекательности f ( x, y ) от факторов x и y для всех людей и групп одинакова .

Первая группа предположений, пригодных для уточнения вида функции предпочтения по сути дела уже была описана, когда рассматривались меры благосостояния (или бедности) общества. Во-первых, при прочих неизменных условиях с увеличением значения какого-либо фактора, скажем, x_s , – зарплаты или дохода, на старом месте x предпочтения любого другого места убывают. Этот принцип, касающийся индивидуальных (не производственных) потребностей человека или домохозяйства давно известен народной мудрости: «от добра – добра не ищут». Математически он означает, что эффективность фактора x_s отрицательна, или формально – .

Во-вторых, предполагается, что убывание предпочтений с ростом x затухает – происходит насыщение индивидуальных потребностей[1] . Этот принцип (предположение) приводит к падению эффективности действия фактора x_s при его увеличении, т. е. математически . Оба описанных принципа – предположения означают, что по аргументам x функция f ( x , y ) убывает и выпукла вниз. Аналогично можно получить, что она же по аргументам y растет и выпукла вверх. Заметим еще, что оба предположения (принципа) хорошо известны всем, кто сталкивался с функцией полезности.

Однако, пока оставим развитие этих достаточно общих предположений до будущего и остановимся на некоторых более конкретных, а потому и частных вопросах второй группы .

Рассмотрим два места работы или жительства, первое из которых предоставляет занимающему его индивиду набор x , а второе – y . Тогда предпочтение нового места y человеком, находящемся на старом x , будет равно f ( x , y ) . Пусть набор y изменился из-за увеличения на dy_s компоненты y_s , скажем дохода, а все остальные компоненты остались на прежнем уровне. Тогда произошло изменение в предпочтении на величину df ( x , y ). Предпочтение и связанную с ней интенсивность можно вернуть на прежний уровень (т. е. сделать df ( x , y )=0 ), изменив компоненту x_s набора x на величину dx_s , т. е. увеличив доход x_s на старом месте x .

Основное предположение состоит в том, что каков бы ни был набор условий x и y изменение одной из компонент dy_s (например, дохода) на новом месте может быть возмещено изменением той же самой компоненты (дохода) dx_s на старом так, что изменения в предпочтении не будет. При этом изменение дохода на старом месте dx_s пропорционально изменению дохода на новом dy_s , что очевидно. Допустим дополнительно, что коэффициент пропорциональности зависит лишь от уровней дохода x₁ на старом и y_s на новом местах особым образом.

Действительно, поскольку df ( x , y )= , то dx_s = и приращение dx_s – пропорционально dy_s , но коэффициент пропорциональности - может зависеть от значений всех условий x и y . Поэтому дополнительное условие самовозмещения состоит в том, что коэффициент пропорциональности k ( x , y ) =-, который уравновешивают изменение dy_s привлекательности места y изменением того же самого фактора dx_s , характеризующего старое место x , зависит лишь от значений x_s , и y_s , а не от всех остальных условий, т. е. k ( x , y )=k(x_s , y_s ) . Для наибольшей простоты окончательных выражений положим еще, что k(x_s , y_s ) =y ‘(y_s )/ f ‘(x_s ,). Можно показать, что последнее не очень сильное предположение допускает ослабление.

Гипотеза 2 (о самовозмещении) . Предпочтения и интенсивности перехода не изменяются при пропорциональном изменении условий с коэффициентами пропорциональности, зависящими только от уровней самих условий x_s и y_s для любых s .

2. Уточнение вида зависимости

Далее будут приведены некоторые определения и то, что из них следует для большей определенности функции привлекательности.

Математически в предположении о совпадении часть, касающаяся пропорциональности изменения условий dx_s и dy_s , означает, что

dx_s =dy_s "s (2.1)

где через ‘обозначено дифференцирование.

Из справедливости гипотезы 2, т. е. из неизменности интенсивностей перехода при выполнении (2.1), следует, что функции предпочтения для аргументов с индексом s удовлетворяют уравнениям

," s, (2.2)

где индекс s у функций j » и y » появился из-за того, что коэффициенты пропорциональности в гипотезе 2 могут быть разными для разных условий, т. е. зависеть от самого условия, следовательно, и от его номера s . Разные функции f и y подчеркивают лишь то, что отношение к «журавлю в небе» – y другое, чем к «синице в руках» – x .

Решением дифференциального уравнения (2.2), если (2.1) справедливо для любого s, будет произвольная дифференцируемая функция F от m аргументов z_s (s =1,2,…, m ), где вместо аргументов стоят разности f _s (x_s ) -y _s (y_s ) , т. е.

f ( x , y )= F [ y ₁ (y₁ ) -f ₁ (x₁ ), y ₂ (y₂ ) -f ₂ (x_s ), ¼,y _m (y_m ) -f _m (x_m )]. (2.3)

Кроме того, из (2.3) следует выполнение гипотезы 1 о совпадении. Итак, справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Для выполнения гипотез 1 и 2 (т. е. соотношений (2.1) и (2.2) независимость всех функций из них от человека) необходимо и достаточно, чтобы функция привлекательности имела вид (2.3)

Замечание. Легко ослабить требование гипотезы 1, полагая, она справедлива лишь для людей каждой группы i. Для этого нужно учесть зависимость всех произвольных функций F , f и y от группы, добавив к ним еще индекс i. Кроме того, уже упоминалось монотонно возрастающее преобразование функции привлекательности, переводящее предпочтения в интенсивности перехода, которое может зависеть от группы, содержащей человека x . Это далее используемое преобразование также эквивалентно добавлению индекса i , который отражает влияние группы, но лишь на функцию F .

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--