Реферат: Теореми Ролля Лагранжа Коші Правило Лопіталя Формула Тейлора для функції однієї та двох змін

(6.77)

Формулу (6.77) називають формулою Тейлора для многочлена.

6.14.2. Формула Тейлора для довільної функції

Візьмемо довільну функцію , яка в околі деякої точки і в самій точці має похідні до -го порядку включно.

Тоді для такої функції можна побудувати многочлен

(6.78)

Цей многочлен називається многочленом Тейлора для функції

Розглянемо таку різницю:

Оскільки залежить від то й залежить від

Тоді

або

(6.79)

Формула (6.79) називається формулою Тейлора для функції а функція - залишковим членом формули Тейлора.

Отже, формула Тейлора (6.79) відрізняється від формули Тейлора (6.77) для многочлена тим, що вона містить залишковий член Виразимо через похідну -го порядку від функції

Теорема. Якщо в деякому околі, наприклад, на відрізку точки має неперервні похідні до -го порядку включно, то залишковий член у формулі Тейлора можна записати у вигляді

(6.80)

де

Формула (6.79) записується тепер у вигляді

(6.81)

і справедлива для будь-якого

Формула (6.81) називається формулою Тейлора із залишковим членом виду Лагранжа. Якщо в цій формулі покласти , то матимемо так звану формулу Маклорена

(6.82)

Враховуючи вирази для диференціалів різних порядків функції можна записати формулу (6.81) в диференціальній формі:

(6.83)

6.14.3. Формула Тейлора для функції двох змінних

Нехай функція має в околі точки неперервні частинні похідні до -го порядку включно. Формулу Тейлора зручно записати в диференціальній формі:

(6.84)