Реферат: Теоретические подходы к феномену "математическое мышление"

Среди характерных черт математического мышления называют абстрактность, широту, глубину, гибкость и другие качества. Так, например, Г. Хемли выделил три вида операций: классификацию, порядок и соответствие, считая, что они наиболее полно характеризуют действия с любым математическим материалом.

В исследованиях К. Дупкера в качестве условий, способствующих развитию мышления в области математических объектов, выделены широта, гибкость и способность абстрагироваться от конкретного содержания. Он отмечает: "Плохой математик не может легко осуществить преобразование потому, что мыслимое им содержание не является относительно неподвижным, жестким и поэтому с трудом поддающимся перестройке" [14. с. 231].

Н. Манер [15] также придает большое значение гибкости мышления и процессе решения задач, в том числе и математических. Он полагает, что привычный способ действия тормозит выработку правильного решения, создаст трудности в использовании различных подходов.

Особенно важным в решении задач считается способность к генерализованному пониманию ситуации, к схватыванию структурных соотношений и обобщенном виде [16]. В результате интроспективного исследования структуры математического мышления В. Хаекер и Т. Циген выделили компоненты, составляющие, по их мнению, "ядро" такого мышления [1]:

1) пространственное — понимание пространственных фигур, образов и их составляющих, память па пространственные образы, пространственные абстракции;

2) логический — образование понятий (типа "синус", "тангенс" и т.п.) и понятий абстракций; понимание, запоминание и самостоятельное выведение общих понятийных связей, заключений и доказательств по правилам формальной логики, образование числовых представлений, память на числа, числовые решения;

3) символический — понимание и запоминание символов, операции с ними.

Специфика математического мышления и его особенности отмечаются во многих работах математиков-педагогов. Так, А. Пуанкаре и Ж. Адамар, с одной стороны, отмечали специфичность мышления математика, проявляющуюся в свойственной ему "математической индукции", подсознательной творческой работе, указывая, что математическое творчество связано с общим интеллектом, творчеством вообще; с другой стороны, говорили о необходимости особого логического мышления.

Большое значение придавал роли "бессознательного мыслительного процесса" русский математик Д.Д. Мордухай-Болтовский. Он писал: "Мышление математика ...глубоко внедряется в бессознательную сферу, то всплывая па поверхность, то погружаясь в глубину ...Математик не осознает каждого шага мысли, как виртуоз — движений смычка". В качестве наиболее важных компонентов мышления он считал "сильную память" па "предмет того типа, с которым имеет дело математика" (память на идеи и мысли); "остроумие" как способность "обнимать в одном суждении" понятия из двух малосвязанных областей мысли; быстроту мысли [17].

Учитывая, что математическое мышление имеет свои черты и особенности, которые обусловлены спецификой методов обучения, Ю.М.Колягин отмечает, что математическому мышлению свойственны те качества, которые присущи научному мышлению, т.е. гибкость, активность, целенаправленность, готовность памяти к воспроизведению усвоенного, широта, глубина, критичность и самокритичность, ясность, точность, лаконичность, оригинальность, доказательность [18].

С.И. Шварцбурд, указывая на ряд компонентов, влияющих на развитие учащихся, обращает внимание на шпроту пространственных представлений; умения отличать существенное от несущественного, абстрагироваться, абсолютно мыслить; способность перейти от конкретной ситуации к математической формулировке вопроса, к схеме, сжато характеризующей существо дела; навыки дедуктивного мышления; умение анализировать, критиковать и ставить новые вопросы; владение достаточно развитой математической речью; обладание достаточным терпением при решении математических задач [19, с.33].

А.И. Маркушеничем в характеристике математического мышления выделены: умения вычленять сущность вопроса, отвлекаясь от несущественных деталей, абстрагироваться, строить такую схему явления, в которой присутствует только то, что нужно для математической трактовки вопроса, а именно: отношения порядка, принадлежности, количества и меры. пространственного расположения, умения схематизировать; выводить логические следствия из данных предпосылок; анализировать данный вопрос, вычленяя из пего частные случаи, различать, когда они исчерпывают все возможности и когда они являются лишь примерами; умение применять выводы, полученные из теоретических рассуждении, к конкретным вопросам и сопоставлять результаты с тем, что теоретически предполагается, оценивать влияние изменяющихся условий по надежности результата; умение обобщать полученные выводы и ставить новые вопросы в обобщенном виде [20, с. 3-14].

В.А. Гусев указывает следующие характерные черты математического мышления, которые формируются у подавляющего числа учащихся при изучении математики а средней школе: 1) четкость формулировки проблемы, задачи, задания; 2} понимание предлагаемого математического материала; 3) строгость изложения материала; 4) память.

Как утверждает В.А. Гусев, "понять какое-нибудь явление — это значит раскрыть в нем существенное, осознать причины его возникновения, его взаимосвязь с другими явлениями, его место в системе окружающих явлений. Можно по-разному относиться к такой трактовке, но следует уяснить одно, что акт понимания не может быть сиюминутным, он охватывает множество взаимосвязанных параметров, а поэтому критика типичного для учителей вопроса правомерна" [21].

Одним из важнейших качеств математического мышления М.В. Потоцкий считает "умение расчленять комплексы, в частности, обнажить логическую структуру рассуждения, умение отделить то, что доказано, от всего привнесенного...", а также умение "оторвавшись от проторенных путей, или иногда идя по мим, сразу заметить тот путь, который ведет от исходных предпосылок к намеченным конечным выводам" [22, с. 130]. При этом он отмечает, что математическое мышление надо развивать путем преодоления трудностей п решении целесообразно подобранных задач [22, с. 136].

А.Я. Хинчин, глубоко интересовавшийся проблемами обучения математике, к своеобразным чертам математического мышления относил следующие четыре характерных признака.

1. "Для математики характерно доведение до предела доминирования логической схемы рассуждения... Эта своеобразная черта стиля математического мышления, в столь полной мере не встречающаяся пи в одной другой науке, имеет в себе много цепного... Она в максимальной степени позволяет следить за правильностью течения мысли и гарантирует от ошибок; с другой стороны, она заставляет мыслящего при каждой дизъюнкции иметь перед глазами всю совокупность имеющихся возможностей и обязывает его учесть каждую из них, не пропуская ни одной".

2. "Лаконизм, сознательное стремление всегда находить кратчайший, ведущий к данной цели логический путь, беспощадное отбрасывание всего, что не абсолютно необходимо для безупречной аргументации".

3. "Четкая расчлененность хода аргументации",

4. Скрупулезная точность символики. "Каждый математический символ имеет строго определенное значение: замена его другим символом или перестановка на другое место, как правило, влечет за собой искажение, а подчас и полное уничтожение смысла данного высказывания" [23, с. 141-144].

Конечно, эти черты специфичны, по все же они отражают лишь внешние стороны математического стиля мышления. Происходящая сейчас широкая математизация науки привела к тому, что все они стали присущи и стилю многих других наук, не только естественных (физики, химии и др.), но и таких, как лингвистика, экономика и т.д.

Представители пятого подхода связывают математическое мышление с понятиями "способности" и "обобщения".

Пониманию сути, содержания и способов математического мышления помогают выделенные специалистами личностные и мыслительные качества, характеризующие деятельность математиков при решении математических проблем, задач. А.Н. Колмогоров такими качествами считал нахождение удачных путей для решения уравнений, не подходящих под стандартные правила ("алгоритмические способности"), геометрическое воображение или "геометрическую интуицию", искусство последовательного, правильного расчлененного логического рассуждения, л частности, понимание и умение правильно применять принцип индукции [24, с. 9-10]. Б.В.Гнеденко в ряде работ [25; 26; 27] в качестве основных требований к математическому мышлению выдвигает способность улавливать нечеткость рассуждений, необходимость полноценного логического аргументирования, четкую расчлененность хода рассуждений, лаконизм, точность символики.

В.А. Крутецкий отмечает, что мышление способных к математике учеников отличается следующими характеристиками: быстрым и широким обобщением; стремлением мыслить свернутыми умозаключениями; большой подвижностью мыслительных процессов; свободным переключением от одной умственной операции к другой; тенденцией к ясности, простоте, рациональности, экономичности, изяществу решения. Как указывает этот автор, самое главное при обучении математике — формировать у учащихся обобщенные математические отношения, развивать способности к обобщению. В его исследовании специфической способностью относительно математического материала выступала "способность к обобщению математических объектов, отношений и действий" [28, с. 385—386, 389]. Существуют разные пути достижения этого в зависимости от индивидуально-типологических особенностей школьников. Учителю следует руководствоваться теми особенностями, которые наиболее сильно выражены, и, отталкиваясь от них, постепенно преодолевать специфические слабые черты математического мышления.

В исследовании В.А. Крутецкого были обнаружены два способа обобщения: постепенное, к которому учащийся приходит в результате длительного решения однотипных задач, и обобщение "с места" — на основе анализа решения одной задачи, "...не испытывая затруднений, без помощи экспериментатора, без специальной тренировки в решении однотипных задач" [28, с. 264-265]. Первый способ, как показал В.В. Давыдов, есть не что иное, как эмпирическое обобщение, а второй — теоретическое. Они обусловливают особенности двух типов мышления — рассудочно-эмпирического и теоретического [29].

По определению В.А. Крутецкого, основными характеристиками математического мышления являются [28]:

1) способность к формализации математического материала, к отделению формы от содержания, абстрагированию от конкретных количественных отношений и пространственных форм и оперированию формальными структурами, структурами отношений и связей;

2) способность обобщать математический материал, вычленять главное, отвлекаясь от несущественного, видеть общее во внешне различном;

3) способность к оперированию числовой и знаковой символикой;