Реферат: Теория графов

На рисунке 2.10 изображен связный граф; на рисунке 2.11 – несвязный (т. к. существует минимум одна пара несвязных вершин – A и D ).

Определение 2.16. Деревом называется связный граф, не содержащий циклов.

Трехмерной моделью графа-дерева служит, например, настоящее дерево с его замысловато разветвленной кроной; река и ее притоки также образуют дерево, но уже плоское – на поверхности земли (рис.2.12).

(РИСУНОК 2.12)

Определение 2.17. Несвязный граф, состоящий исключительно из деревьев, называется лесом.

Пример: на рисунке 2.13 изображен лес, состоящий из трех деревьев.

(РИСУНОК 2.13)

Определение 2.13. Дерево, все n вершин которого имеют номера от 1 до n , называют деревом с перенумерованными вершинами.

Итак, мы рассмотрели основные определения теории графов, без которых было бы невозможно доказательство теорем, а, следовательно и решение задач. Формулировки и доказательства ключевых теорем будут приведены ниже, в этом же параграфе объяснены базовые понятия теории.

§3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ.

Опираясь на приведенные выше определения теории графов, приведем формулировки и доказательства теорем, которые затем найдут свои приложения при решении задач.

Теорема 3.1. Удвоенная сумма степеней вершин любого графа равна числу его ребер.

Доказательство . Пусть А₁ , А₂ , А₃ , ...,A_n — вер­шины данного графа, ap(A ₁ ), р(А₂ ), ..., p(A_n ) – степени этих вершин. Подсчитаем число ребер, сходящихся в каждой вершине, и просуммируем эти числа. Это рав­носильно нахождению суммы степеней всех вершин. При таком подсчете каждое ребро будет учтено дважды (оно ведь всегда соединяет две вершины).

Отсюда следует: p(A ₁ )+р(А₂ )+ ... +p(A_n )=0,5N, или 2(p(A₁ )+р(А ₂ )+ ... +p(A_n ))=N , где N — число ребер. ‡

Теорема 3.2. Число нечетных вершин любого графа четно.

Доказательство . Пусть a ₁ , a ₂ , a ₃ , …, a_k — это сте­пени четных вершин графа, а b ₁ , b ₂ , b ₃ , …, b_m — степени нечетных вершин графа. Сумма a ₁ + a ₂ + a ₃ +…+ a_k + b ₁ + b ₂ + b ₃ +…+ b_m ровнов два раза превышает число ребер гра­фа. Сумма a ₁ + a ₂ + a ₃ +…+ a_k четная (как сумма четных чисел), тогда сумма b ₁ + b ₂ + b ₃ +…+ b_m должна быть четной. Это возможно лишь в том случае, если m — четное, то есть четным является и число нечетных вершин графа. Что и требовалось доказать. ‡

Эта теорема имеет немало любопытных следствий.

Следствие 1. Нечетное число знакомых в любой компании всег­да четно.

Следствие 2. Число вершин многогранника, в которых сходится нечетное число ребер, четно.

Следствие 3. Число всех людей, когда-либо пожавших руку дру­гим людям, нечетное число раз, является четным.

Теорема 3.3. Во всяком графе с n вершинами, где n больше или равно 2, всегда найдутся две или более вершины с оди­наковыми степенями.

Доказательство . Если граф имеет n вершин, то каждая из них может иметь степень 0, 1, 2, ..., (n - 1). Предположим, что в некотором графе все его вершины имеют различную степень, то есть, и покажем, что этого быть не может. Действительно, если р(А )=0, то это значит, что А — изолированная вершина, и поэтому в графе не найдется вершины Х со степенью р(Х )=n -1. В са­мом деле, эта вершина должна быть соединена с (n - 1) вершиной, в том числе и с А , но ведь А оказалась изолированной. Следовательно, в графе, имеющем n вершин, не мо­гут быть одновременно вершины степени 0 и (n -1). Это значит, что из n вершин найдутся две, имеющие одинаковые степени. ‡

Теорема 3.4. Если в графе с n вершинами (n больше или равно 2) только одна пара имеет одинаковую степень, то в этом графе всегда найдется либо единственная изолированная вершина, либо единственная вершина, соединенная со всеми другими.

Доказательство данной теоремы мы опускаем. Остановимся лишь на некотором ее пояснении. Содержание этой теоремы хорошо разъясняется задачей: группа, состоящая из n школьников, обменивается фотографиями. В некоторый момент времени выяс­няется, что двое совершили одинаковое число обме­нов. Доказать, что среди школьников есть либо один еще не начинавший обмена, либо один уже завершив­ший его.

Теорема 3.5. Если у графа все простые циклы четной длины, то он не содержит ни одного цикла четной длины.

Рисунок 3.1 поясняет условие теоремы. На изображенном графе все 5 простых циклов четные.

(РИСУНОК 3.1)

Суть теоремы в том, что на этом графе невозможно найти цикл (как простой, так и непростой) нечетной длины, то есть содержащий нечетное число ребер.

Теорема 3.6. Для того, чтобы граф был эйлеро­вым, необходимо и достаточно, чтобы он был связным и все его вершины имели четную степень.

Теорема 3.7. Для того чтобы на связном графе можно было бы проложить цепь АВ, содержащую все его ребра в точности по одному разу, необходимо и достаточно, чтобы А и В были единственными нечет­ными вершинами этого графа.

Доказательство этой теоремы очень интересно и ха­рактерно для теории графов. Его также следует счи­тать конструктивным (обратите внимание на то, как •использована при этом теорема 3.6). Для доказательства к исходному графу присоеди­няем ребро (А , В ); после этого все вершины графа станут четными. Этот новый граф удовлетворяет всем условиям теоремы 3.6, и поэтому в нем можно про­ложить эйлеров цикл Ψ. И если теперь в этом цикле удалить ребро (А , В ), то останется искомая цепь АВ. ‡