Реферат: Теория групп — наука о совершенстве

Два слова u, v назовем эквивалентными, если существует цепочка преобразований типа (1) или (2), переводящих одно слово в другое. На множестве классов эквивалентности зададим операцию умножения приписыванием одного слова в конец другому. Тогда мы получим группу, называемую свободной группой и обозначаемую через F[X], а элементы этой группы принято называть словами. Универсальность данной конструкции делает свободные группы незаменимыми при изучении формальных языков (например, языков программирования), а также различных других задач из теории кодирования, распознавания и т. д. Термин «свободная» обусловлен тем, что если у нас есть произвольная группа G и существует такое ее подмножество M, что M = G, то мы можем рассмотреть множество слов X с условием |X| = |M| и тогда существует гомоморфизм φ : F[X] → G. Ядро гомоморфизма Ker(φ) порождается некоторым множеством слов R и запись группы G в виде G = < X|R > называется заданием группы определяющими и порождающими соотношениями. Пожалуй, это самый абстрактный способ задания группы и потому самый сложный. Мы не будем приводить здесь примеров групп, заданных таким образом.

Заключение

На этом нам бы хотелось закончить первую часть знакомства с теорией групп. Все замечания, пожелания, отзывы будут с благодарностью прочтены автором этой заметки. Если данная тема вызовет интерес, то, возможно, появится продолжение, с обзором наиболее значимых (по мнению автора) результатов, с формулировкой наиболее известных задач и изложением некоторых методов и приемов, используемых при изучении групп.