Реферат: Теория игр. Корпоративные игры

Из двух типов игр, некооперативные описывают ситуации в мельчайших деталях и выдают более точные результаты. Кооперативные рассматривают процесс игры в целом. Попытки объединить два подхода дали немалые результаты. Так называемаяпрограмма Нэша уже нашла решения некоторых кооперативных игр как ситуации равновесия некооперативных игр.

Гибридные игры включают в себя элементы кооперативных и некооперативных игр. Например, игроки могут образовывать группы, но игра будет вестись в некооперативном стиле. Это значит, что каждый игрок будет преследовать интересы своей группы, вместе с тем стараясь достичь личной выгоды.

Кооперативные игры получаются в тех случаях, когда, в игре n игроков разрешается образовывать определённые коалиции. Обозначим через N множество всех игроков, N ={1, 2,..., n }, а через K - любое его подмножество. Пусть игроки из K договариваются между собой о совместных действиях и, таким образом, образуют одну коалицию. Очевидно, что число таких коалиций, состоящих из r игроков, равно числу сочетаний из n по r , то есть , а число всевозможных коалиций равно

= 2ⁿ - 1.

Из этой формулы видно, что число всевозможных коалиций значительно растёт в зависимости от числа всех игроков в данной игре. Для исследования этих игр необходимо учитывать все возможные коалиции, и поэтому трудности исследований возрастают с ростом n . Образовав коалицию, множество игроков K действует как один игрок против остальных игроков, и выигрыш этой коалиции зависит от применяемых стратегий каждым из nигроков.

Функция u, ставящая в соответствие каждой коалиции K наибольший, уверенно получаемый его выигрыш u (K ), называется характеристической функцией игры . Так, например, для бескоалиционной игры n игроков u (K ) может получиться, когда игроки из множества K оптимально действуют как один игрок против остальных N\ K игроков, образующих другую коалицию (второй игрок).

Характеристическая функция u называется простой , если она принимает только два значения: 0 и 1. Если характеристическая функция u простая, то коалиции K , для которых u (K) =1, называются выигрывающими , а коалиции K, для которых u (K ) = 0, - проигрывающими.

Если в простой характеристической функции u выигрывающими являются те и только те коалиции, которые содержат фиксированную непустую коалицию R , то характеристическая функция u, обозначаемая в этом случае через u_R , называется простейшей .

Содержательно простые характеристические функции возникают, например, в условиях голосования, когда коалиция является выигрывающей, если она собирает более половины голосов (простое большинство) или не менее двух третей голосов (квалифицированное большинство).

Более сложным является пример оценки результатов голосования в Совете безопасности ООН, где выигрывающими коалициями являются все коалиции, состоящие из всех пяти постоянных членов Совета плюс ещё хотя бы один непостоянный член, и только они.

Простейшая характеристическая функция появляется, когда в голосующем коллективе имеется некоторое “ядро", голосующее с соблюдением правила “вето", а голоса остальных участников оказываются несущественными.

Обозначим через u_G характеристическую функцию бескоалиционной игры. Эта функция обладает следующими свойствами:

персональность

u_G (Æ) = 0,т.е. коалиция, не содержащая ни одного игрока, ничего не выигрывает;

супераддитивность

u_G (K ÈL ) ³u_G (K ) + u_G (L ), если K, L Ì N , K ÇL ¹Æ,

т.е. общий выигрыш коалиции не меньше суммарного выигрыша всех участников коалиции;

дополнительность

u_G (K ) + u (N \K ) = u (N )

т.е. для бескоалиционной игры с постоянной суммой сумма выигрышей коалиции и остальных игроков должна равняться общей сумме выигрышей всех игроков.

Распределение выигрышей (делёж) игроков должно удовлетворять следующим естественным условиям: если обозначить через x_i выигрыш i- го игрока, то, во-первых , должно удовлетворяться условие индивидуальной рациональности

x_i ³u (i ), для i Î N

т.е. любой игрок должен получить выигрыш в коалиции не меньше, чем он получил бы, не участвуя в ней (в противном случае он не будет участвовать в коалиции); во-вторых , должно удовлетворяться условие коллективной рациональности

= u (N )

т.е. сумма выигрышей игроков должна соответствовать возможностям (если сумма выигрышей всех игроков меньше, чем u (N ), то игрокам незачем вступать в коалицию; если же потребовать, чтобы сумма выигрышей была больше, чем u (N ), то это значит, что игроки должны делить между собой сумму большую, чем у них есть).

Таким образом, вектор x = (x₁ ,..., x_n ), удовлетворяющий условиям индивидуальной и коллективной рациональности, называется дележём в условиях характеристической функции u.

Система {N , u}, состоящая из множества игроков, характеристической функции над этим множеством и множеством дележей, удовлетворяющих соотношениям (2) и (3) в условиях характеристической функции, называется классической кооперативной игрой .

Кооперативная игра с множеством игроков N и характеристической функцией u называется стратегически эквивалентной игрой с тем же множеством игроков и характеристической функцией u¹ , если найдутся такие к > 0 и произвольные вещественные C_i ( i Î N ), что для любой коалиции К Ì N имеет место равенство:

u¹ (K ) = k u (K ) +