Реферат: Теория игр. Корпоративные игры

Справедливы следующие свойства для стратегических эквивалентных игр:

1. Рефлексивность, т.е. каждая характеристическая функция эквивалентна себе u~u.

2. Симметрия, т.е. если u~u¹ , то u¹ ~u.

3. Транзитивность , т.е. если u~u¹ и u¹ ~u² , то u~u² .

Одними из наиболее интересных способов решения коалиционных игр являются решения с применением аксиом Шелли.

3. Решение кооперативной игры при помощи вектора шепли

Аксиомы Шепли:

1. Аксиома эффективности . Если S - любой носитель игры с характеристической функцией u, то

= u (S )

Иными словами, “справедливость требует", что при разделении общего выигрыша носителя игры ничего не выделять на долю посторонних, не принадлежащих этому носителю, равно как и ничего не взимать с них.

2. Аксиома симметрии . Для любой перестановки p и i Î N должно выполняться (pu) = j_{i (} u), т.е. игроки, одинаково входящие в игру, должны “по справедливости” получать одинаковые выигрыши.

3. Аксиома агрегации . Если есть две игры с характеристическими функциями u¢ и u¢¢, то

j_{i (} u¢ + u¢¢) = j_{i (} u¢) + j_{i (} u¢¢),

т.е. ради “справедливости" необходимо считать, что при участии игроков в двух играх их выигрыши в отдельных играх должны складываться.

Определение. Вектором цен (вектором Шепли) игры с характеристической функцией u называется n-мерный вектор

j ₍ u) = (j₁ (u), j₂ (u),..., j_n (u)),

удовлетворяющий аксиомам Шепли.

Существование вектора Шепли вытекает из следующей теоремы

Теорема. Существует единственная функция j, определённая для всех игр и удовлетворяющая аксиомам Шепли.

Определение. Характеристическая функция w_S (T ), определённая для любой коалиции S , называется простейшей , если

w_S (T ) =

Содержательно простейшая характеристическая функция описывает такое положение дел, при котором множество игроков S выигрывает единицу тогда и только тогда, когда оно содержит некоторую основную минимальную выигрывающую коалицию S .

Вектор Шепли содержательно можно интерпретировать следующим образом: предельная величина, которую вносит i -й игрок в коалицию T , выражается как u (T ) -u (T \{i }) и считается выигрышем i- го игрока; g_{i (} T ) - это вероятность того, что i -й игрок вступит в коалицию T \{i }; j_{i (} u) - средний выигрыш i -го игрока в такой схеме интерпретации. В том случае, когда u - простейшая,

Следовательно

,

где суммирование по T распространяется на все такие выигрывающие коалиции T , что коалиция T \{i }не является выигрывающей.

Пример. Рассматривается корпорация из четырёх акционеров, имеющих акции соответственно в следующих размерах

a₁ = 10, a₂ = 20, a₃ = 30, a₄ = 40.

Любое решение утверждается акционерами, имеющими в сумме большинство акций. Это решение считается выигрышем, равным 1. Поэтому данная ситуация может рассматриваться как простая игра четырёх игроков, в которой выигрывающими коалициями являются следующие: