Реферат: Теория вероятностей: наука о случайном

Задача 7.

Известно, что на каждые 10 билетов приходится один выигрышный. Какова вероятность выигрыша, если имеется 50 билетов?

Решение.

По известной нам формуле легко вычислить, что вероятность выигрыша одного билета 0,1; вероятность того, что он не выиграет 0,9. Выигрыши и проигрыши билетов друг от друга независимы. Вероятность того, что не выиграет первый билет 0,9. Вероятность того, что не выиграет второй тоже 0,9. Тогда вероятность того, что не выиграет ни первый, ни второй, по определению независимых событий

Точно так же показывается, вероятность того, что не выиграют первые 3 билета, составляет 0,93; а вероятность того, что не выиграют все 50 билетов = 0,950; т.е. приблизительно 0,005. Соответственно, вероятность выигрыша хотя бы одного билета 0,995 (99,5%).

Задача 7.

Один французский рыцарь, де Мере, был страстным игроком в кости. Он всячески старался разбогатеть и придумывал для этого разные усложненные правила.

Он, в частности, придумал такие правила: бросают 4 кости и он бьется об заклад, что хотя бы на одной выпадет 6. Он считал, что в большей части случаев он останется в выигрыше. Чтобы подтвердить это, он обратился к своему старому знакомому – Блезу Паскалю с просьбой рассчитать, какова вероятность выигрыша в этой игре.

Приведем расчет Паскаля.

При каждом отдельном бросании вероятность события A = «выпала шестерка» = . Вероятность события B = «не выпала шестерка» = . Кубики не зависят друг от друга, следовательно, по формуле

вероятность того, что шестерка не выпадет два раза подряд, составляет

Точно так же показывается, что при трехкратном бросании вероятность невыпадения 6 составляет

А при четырехкратном –

А , следовательно, вероятность выигрыша . Значит, при каждой игре больше половины шансов было за то, что де Мере выиграет; при многократном повторении игры он наверняка оставался в выигрыше.

Резонно поставить вопрос, какой должна быть вероятность события, чтобы можно было считать его достоверным? Известно, что примерно 5% назначенных концертов отменяется, однако это не мешает нам покупать билеты. Но если бы 5% самолетов разбивались, то вряд ли бы кто-нибудь стал пользоваться воздушным транспортом.

Для того, чтобы в условиях мирного времени не рисковать жизнью, то вероятность неблагоприятного исхода должна быть, по-видимому, не больше 0,0001. Разные люди по-разному относятся к риску, но очевидно, что даже самые осторожные легко пойдут на риск, если вероятность неблагоприятного исхода составляет 10-5. Например, вероятность попасть под машину в большом городе 10-7. Так что можно предположить, что событие с вероятностью неблагоприятного исхода 10-7 можно считать достоверным, однако транспортные происшествия случаются каждый день.

Так же можно определить вероятность невозможного события, например «чуда Бореля» (Эмиль Борель – математик, автор многих работ по Теории) – того, что обезьяна, наугад ударяя пальцами по клавиатуре, напечатает какое-нибудь законченное произведение, например, «Горе от ума» Грибоедова. Это не невозможное событие, хотя вероятность его очень мала, примерно 10-2600. С такой же вероятностью на огне может замерзнуть чайник (термодинамика, кстати, не отрицает возможности такого явления).

Но все-таки вероятность невозможного события большинство ученых оценивает как 10-16.

4. Метод «Монте-Карло».

определение. Метод Монте-Карло – это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.

Датой рождения метода принято считать 1949 г., когда появилась в свет статья «TheMonteCarloMethod». Создатели метода – американские математики Дж. Неймана и С. Улама.

Теоретическая основа метода была известно давно, однако только с появлением компьютеров он нашел широкое применение, т.к. моделировать случайные величины вручную – трудоемкое занятие.

Само название метода – «Монте-Карло» происходит от названия города в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что простейшим прибором для моделирования случайных величин является… рулетка. Наиболее часто задаваемый вопрос, естественно: «Помогает ли метод выигрывать в рулетку». Нет, к сожалению, не помогает.

Теперь перейдем непосредственно к математике. Чтобы было понятно, о чем идет речь, приведем простейший пример применения метода.

Пример 1.