Реферат: Учебники математики в прошлом, настоящем и будущем

Именно пифагорейцам мы во многом обязаны той математикой, которая затем была систематизировано изложена и доказана в Началах Евклида. Есть основания полагать, что именно они открыли то, что ныне известно как теоремы о треугольниках, параллельных прямых, многоугольниках, окружностях, сферах и правильных многогранниках.

Одним из самых выдающихся пифагорейцев был Платон (ок. 427–347 до н.э.). Платон был убежден, что физический мир постижим лишь посредством математики. Считается, что именно ему принадлежит заслуга изобретения аналитического метода доказательства. (Аналитический метод начинается с утверждения, которое требуется доказать, и затем из него последовательно выводятся следствия до тех пор, пока не будет достигнут какой – нибудь известный факт; доказательство получается с помощью обратной процедуры.) Принято считать, что последователи Платона изобрели метод доказательства, получивший название «доказательство от противного». Заметное место в истории математики занимает Аристотель, ученик Платона. Аристотель заложил основы науки логики и высказал ряд идей относительно определений, аксиом, бесконечности и возможности геометрических построений.

Величайшим из греческих математиков классического периода, уступавшим по значимости полученных результатов только Архимеду, был Евдокс (ок. 408–355 до н.э.). Именно он ввел понятие величины для таких объектов, как отрезки прямых и углы. Располагая понятием величины, Евдокс логически строго обосновал пифагорейский метод обращения с иррациональными числами.

Работы Евдокса позволили установить дедуктивную структуру математики на основе явно формулируемых аксиом. Ему же принадлежит и первый шаг в создании математического анализа, поскольку именно он изобрел метод вычисления площадей и объемов, получивший название «метода исчерпывания». Этот метод состоит в построении вписанных и описанных плоских фигур или пространственных тел, которые заполняют («исчерпывают») площадь или объем той фигуры или того тела, которое является предметом исследования. Евдоксу же принадлежит и первая астрономическая теория, объясняющая наблюдаемое движение планет. Предложенная Евдоксом теория была чисто математической; она показывала, каким образом комбинации вращающихся сфер с различными радиусами и осями вращения могут объяснить кажущиеся нерегулярными движения Солнца, Луны и планет.

Около 300 до н.э. результаты многих греческих математиков были сведены в единое целое Евклидом, написавшим математический шедевр “Начала”. Из немногих проницательно отобранных аксиом Евклид вывел около 500 теорем, охвативших все наиболее важные результаты классического периода. Свое сочинение Евклид начал с определения таких терминов, как прямая, угол и окружность. Затем он сформулировал десять самоочевидных истин, таких, как «целое больше любой из частей». И из этих десяти аксиом Евклид смог вывести все теоремы. Для математиков текст Начал Евклида долгое время служил образцом строгости, пока в 19 в. не обнаружилось, что в нем имеются серьезные недостатки, такие как неосознанное использование не сформулированных в явном виде допущений.

Аполлоний (около 262–200 до н.э.) жил в александрийский период, но его основной труд выдержан в духе классических традиций. Предложенный им анализ конических сечений – окружности, эллипса, параболы и гиперболы – явился кульминацией развития греческой геометрии. Аполлоний также стал основателем количественной математической астрономии.

В течение долгого времени математические сведения не были выделены в отдельную область науки. Важные и интересные астрономические, технические и другие открытия, наблюдения за явлениями природы, новые методы вычислений и решения новых классов задач стекались в Грецию со всех сторон, распространялись в кругах образованных людей, сливаясь в единую, хотя и слабо поначалу объединенную, область всеобщего научного знания. Называли эту область матема ( - знание, наука). Факты этой науки приобрели название научных, математических.

Но время шло и постепенно накопление научных сведений объективно вынуждало к тому, чтобы их упорядочить, классифицировать. То же стремление к разделению, дифференциации знаний вырастало из практики школьного обучения. Известно, что все дети свободных граждан рабовладельческих Афин и других полисов с семилетнего возраста учились в школах. Там их обучали как дисциплинам практического назначения, так и начаткам теоретического научного знания, в том числе основам теоретической арифметики и геометрии. Став взрослыми, они вследствие привилегированного положения в обществе передавали подневольным людям не только физический труд, но и решение практических задач, связанных с необходимостью счета и измерений. Такое разделение математических занятий, возникшее в силу социального неравноправия людей, ускоряло объективное течение исторического процесса дифференциации научных знаний и выделения слоя людей, занимающихся теоретическими проблемами математики. Этому же способствовало деятельность учебно-научных объединений натурфилософского направления (научных школ). Это были по преимуществу небольшие группы молодых людей, собиравшихся вокруг известных ученых; преподавание велось главным образом устно.

Древнегреческие школы

Элейская школа

Элейская школа довольно интересна для исследования, так как это одна из древнейших школ, в трудах которой математика и философия достаточно тесно и разносторонне взаимодействуют. Основными представителями Элейской школы считают Парменида (конец VI - V в. до н.э.) и Зенона (первая половина V в. до н.э.).

Философия Парменида заключается в следующем: всевозможные системы миропонимания базируются на одной из трех посылок: 1) есть только бытие, небытия нет; 2) существует не только бытие, но и небытие; 3) бытие и небытие тождественны. Истинный Парменид признает только первую посылку. Согласно ему – бытие едино, неделимо, неизменяемо, вневременно, закончено в себе, только оно истинно сущее; множественность, изменчивость, прерывность, текучесть - все это удел мнимого.

С возражением выступил его ученик Зенон. Древние приписывали ему сорок доказательств для защиты учения о единстве сущего (против множественности вещей) и пять доказательств его неподвижности (против движения). Из них до нас дошло всего девять. Наибольшей известностью во все времена пользовались зеноновы доказательства против движения.

Аргументы Зенона приводят к парадоксальным, с точки зрения «здравого смысла», выводам, но их нельзя было просто отбросить как несостоятельные, поскольку и по форме, и по содержанию удовлетворяли математическим стандартам той поры. Разложив апории Зенона на составные части и двигаясь от заключений к посылкам, можно реконструировать исходные положения, которые он взял за основу своей концепции. Важно отметить, что в концепции элеатов, как и в дозеноновской науке, фундаментальные философские представления существенно опирались на математические принципы. Видное место среди них занимали следующие аксиомы:

1. Сумма бесконечно большого числа любых, хотя бы и бесконечно малых, но протяженных величин должна быть бесконечно большой;

2. Сумма любого, хотя бы и бесконечно большого числа непротяженных величин всегда равна нулю и никогда не может стать некоторой заранее заданной протяженной величиной.

Именно в силу тесной взаимосвязи общих философских представлений с фундаментальными математическими положениями удар, нан