Для иллюстраций решения сделаем довольно простое допущение, которое тем не менее часто соответствует действительности. Допустим, что Р и, стало быть, w вообще не могут быть изменены. Все управление, следовательно, должно быть реализовано через вектор r , который, как мы предполагаем, может изменяться по нашему желанию при условии

. (12)

(Неравенство, связывающее два вектора, должно пониматься как действующее в каждой паре элементов.) В этом случае поставленная задача может быть решена отысканием такого вектора r , который удовлетворяет условиям (11) и (12). Заметив, что , легко показать, что

, (13)

где I – единичная матрица; отметим, что nw ’ — скаляр. Можно легко убедиться в том, что элементы вектора r , получаемого по (13), в сумме дают единицу. Вместе с тем эти элементы будут все неотрицательны, если

. (14)

Таким образом можно легко проверить, обладает ли определенная структура способностью сохраняться при управлении наймом.

Такого рода арифметическая проверка годится для достижения непосредственной цели, но она непригодна для того, чтобы прийти к пониманию вопроса о типе структур, которые могут сохраняться. Поэтому мы продолжим поиск характеристик множества структур, которые удовлетворяют условию (14).

Поскольку размеры всей системы фиксированы, будем работать в терминах пропорций каждого из классов и определим их с помощью x = n N ^-1 . Таким образом, будем интересоваться множеством таких х , которые удовлетворяют условию

. (15)

При k = 3 можно сделать задачу геометрически наглядной. Вектор х может быть представлен как точка в трехмерном евклидовом пространстве. Каждая такая точка должна лежать на плоскости x ₁ + x ₂ + x ₃ = 1 и находиться в положительном октанте. Тогда множество всех возможных структур может быть представлено множеством всех точек равностороннего треугольника с вершинами (1, 0, 0), (0,1,0) и (0,0,1), показанного на рис. 2 .

Неравенство (15) определяет некоторую область в этом треугольнике, содержащую все структуры, которые могут сохраняться. Если найти границу этой области, то окажется возможным непосредственно увидеть, какого рода структуры сохраняются. Это достигается алгебраическим путем представления всякого х , удовлетворяющего условию (15), в виде линейной комбинации (линейной функции с положительными коэффициентами, дающими в сумме единицу) фиксированного множества вершин. В результате получается, что область сохраняемости является выпуклой оболочкой, определяемой этими вершинами.

Будем рассуждать в терминах произвольного k , однако сохраним геометрическую терминологию, использованную для k = 3.

Из (13) для х получаем

. (16)

Умножая обе части соотношения (16) на вектор-столбец из единиц, записываемый как I ’, находим, что

, (17)

где элементы d суть суммы элементов строк матрицы (I – P )^-1 . Тогда, производя подстановку (17) в (16), получаем

, (18)

где e _i — вектор, i -я координата которого 1, а остальные координаты — нули.

Пусть

,

тогда х можно записать как

. (19)

Коэффициенты a _i неотрицательны, и их сумма равна единице. следовательно, любая такая точка х лежит в выпуклой области с вершинами, имеющими координаты

,

и каждая такая точка соответствует своему r .

Чтобы проиллюстрировать выкладки, возьмем данные примера из предыдущего параграфа:

.

Для такой матрицы Р получаем

.

Произведя деление каждой строки на сумму элементов этой строки, получаем вершины области, содержащей сохраняющиеся структуры

(0; 0; 1), (0; 0.5; 0.5), (0.429; 0.286; 0.286).

Эти точки нанесены на рис. 2 , и область, содержащая сохраняющиеся структуры, есть треугольник. Сделаем проверку. Возьмем, например, структуру (0.429; 0.286; 0.286), домножим ее на общий размер системы N = 450: (193.05; 128.7; 128.7) и подставим в (13), тем самым мы найдем управляемый вектор набора r = (1; 0; 0). Легко проверяется, что структура (193.05; 128.7; 128.7) сохраняется при заданных P , w и найденном r (воспользовавшись, например, программой uspsvu1.m) .

Аналогичный анализ можно провести для случая, когда управлять можно только долей повышений. В данном случае мы фиксируем r и w и изучаем влияние изменения элементов Р при ограничении вида d_i = 1 – w_i для всех i . В случае матрицы Р общего вида задача усложняется тем, что имеется бесконечно много матриц Р , удовлетворяющих условию (11). Однако если рассматривается некоторая простая иерархия, в которой повышения проводятся только в следующей, более высокий класс, то Р имеет ненулевые элементы только на главной диагонали и на диагонали над нею. В этом случае существует единственное решение уравнения (11), и множество n , которому соответствует некоторая матрица Р с неотрицательными элементами, представляет область репродуктивности. В отличие от области, определяемой управлением набором, оказывается, что эта область включает структуры с перегруженными более низкими классами. Полученный результат наводит на мысль, что сохраняемость структуры, перегруженной нижними классами, может быть более успешно реализована путем управления повышением, а не набором.

Заключение

Модель системы кадров, которая составила основу данного доклада, разумеется, является слишком упрощенной. Составляющие потерь, например, не могут всегда считаться постоянными в пределах одного класса. Все составляющие обнаруживают склонность к изменениям со временем, и при некоторых условиях достигается возможность планирования этих изменений. Одна из наиболее привлекательных особенностей марковской модели заключается в том, что она может быть легко настроена на охват обобщений такого рода без изменений ее главной структуры. Следовательно, продемонстрированный в этом докладе подход относится к числу подходов, которые остаются пригодными при значительно более общих условиях по сравнению с частными случаями, которые здесь подробно обсуждались.

Выше мы установили различие между использованием модели для прогнозирования и для управления. В первом случае вводимые допущения должны отображать — настолько точно, насколько это возможно, — реальное поведение системы в недавнем прошлом. При использовании модели для управления допущения распадаются на две группы. Те допущения, которые относятся к неуправляемым аспектам системы, должны, как и в случае прогнозирования, отражать действительность. Те же, которые относятся к переменным управления, имеют другой характер: они касаются возможностей администрации и, таким образом, должны основываться на сведениях об организации системы.

Приложение

1) Текст программы uspsvu1.m:

% uspsvu1.m - программа прогнозирования структуры преподавательского

% состава на любое количество лет

% Автор: студент ДГТУ группы У-3-47 В.В.Груздев < 21.05.02 >

clc;clear;