Реферат: Упругий и неупругий удар двух однородных шаров

Такова картина удара двух любых тел, если начальная скорость направлена вдоль линии, соединяющей центры масс этих тел, и если силы взаимодействия направлены вдоль этой же линии центров. В противном случае удар будет представлять сложное явление.

При нецентральном ударе шаров картина соударения будет иная.

3.2. Нецентральное упругое столкновение тел

Здесь во время удара имеет место как приближение центров шаров друг к другу вследствие их деформации, так и скольжение поверхности одного шара по поверхности другого. Очевидно, что вследствие скольжения поверхностей возникнут силы трения, которые вместе с упругими силами взаимодействия определят изменение скорости шаров после удара. Кроме того, силы трения вызовут вращение шаров относительно их центров масс.

Для того чтобы представить механизм удара, разложим векторы скоростей обоих шаров до удара на направление линии центров шаров и на направление перпендикулярное к этой линии.

V_{1 ц}

V_1i F' _Т

V_{1 п}

F'_y F_y

V_2i v_{2 п}

F _T

V_{2 ц}

В следствии "скольжения" поверхности шаров возникнут силы трения F'_T и F_T , которые вместе с упругими силами взаимодействия F'_y и F_y определят изменение скорости шаров после удара. Кроме того, силы трения вызовут вращение шаров вокруг центра. Только в том случае, когда силы трения F_T очень малы по сравнению с упругими силами F_y , т.е. F_T << F_y , можно пренебречь действием сил трения.

В этом случае задача о нецентральном столкновении шаров решается достаточно просто. Действительно, соединяя центры масс сталкивающихся шаров прямой и разложив скорость каждого шара на нормальную составляющую, направленную вдоль линии центров, и тангенциальную составляющую, перпендикулярную к ней. Так как согласно нашему предположению силы трения отсутствуют, то тангенциальные силы во время столкновения не возникают и, следовательно, тангенциальные скорости шаров изменяться не будут. Нормальные же составляющие скорости после удара можно определить на основании закона сохранения количества движения и закона сохранения энергии таким же путем, как и при центральном ударе.

Запишем уравнения:

m₁ v_{1 ц} + m₂ v_{2 ц} = m_{1 ц} v' _{1 ц} + m₂ v'_{2 ц}

m₁ ( v² _{1 п} + v² _{1 ц} ) + m₂ (v² _{2 п} + v² _{2 ц} ) = m₁ ( v'² _{1 п} + v² _{1 ц} ) + m₂ (v'² _{2 п} + v² _{2 ц}

здесь неизвестны только две величины: v'_{1 ц} и v'_{2 ц} .

Общие закономерности нецентрального удара шаров в этом случае можно найти следующим путем. Предположим, что до удара шар 2 покоится, а шар 1 движется. Сила взаимодействия в момент удара проходит через центры шаров (нет трения), и ее направление зависит от "прицельного" расстояния δ , равного расстоянию центра покоящегося шара от линии полета центра другого шара (до удара). Плоскость чертежа совпадает с плоскостью, проходящей через центры шаров и вектор скорости шара 1.

F

2

r2

δ

r1

Р

1

F'

Удар произойдет при условии δ < r1 + r2 , где r1 и r2 – радиусы шаров. Угол θ зависит от δ и r1 + r2 . Составляющая количества движения шара 1 (ударяющего), нормальная к F ( сила взаимодействия) , остается неизменной. Составляющие количеств движения шаров по направлению силы F изменяются в соответствии с законами центрального удара.

По закону постоянства количества движения:

P = P₁ + P₂

где P – количество движения шара 1 до удара, P₁ и P₂ – количества движения шаров 1 и 2 после удара соответственно.