Реферат: Упругий и неупругий удар двух однородных шаров

P₁

θ

P

Закон сохранения энергии можно записать так:

P² /m₁ = P² ₁ /m₁ + P² ₂ /m₂

Так как P = m v и mv² = P² / m для любого тела.

Вектор P₂ составляет угол θ с вектором P , покоившийся шар отскочит под углом θ к начальной скорости первого шара, тогда из треугольника векторов следует:

P² ₁ = P² ₂ + P² - 2 P P₂ cos θ

Учитывая постоянство энергии, исключаем P ₁ и получаем

P₂ = 2 m₂ P cos θ / ( m₁ + m₂ ) = β P cos θ

β = 2 m₂ / (m₁ + m₂ )

Отсюда видно, что общее соотношение между Р₂ и Р зависит от угла θ и соотношения масс m₁ /m₂ .

Следует различать два случая: m₁ > m₂ и m₁ < m₂ . В первом случае β < 1 , тяжелый шар ударяет легкий. Конец вектора Р₂ описывает окружность диаметром βР . Оба шара после удара летят в сторону начального движения первого шара. Величина угла θ изменяется от 0 до π /2 . Угол отклонения первого шара может изменяться от 0 до некоторого φ_макс. . Одному значению φ соответствуют два значения θ.

β < 1

Р₂

Р₁

А

В Р

φ

βР

Точка В представляет центральный удар, оба шара летят после удара по одному направлению. Точка А представляет промах (шары не задели друг друга).

Во втором случае, при m₁ < m₂ , легкий шар ударяет тяжелый. Здесь β > 1 и шар 1 после удара может лететь назад. Угол отклонения налетающего шара φ изменяется от 0 до π .

А В

βР

Точка В представляет центральный удар. Каждому значению φ соответствует только одно значение θ.

При одинаковых массах шаров m₁ = m₂ картина возможных количеств движения показана на рисунке.

Р₂

А В

φ

Угол φ изменяется от 0 до π /2 . При центральном ударе шар 1 останавливается, а шар 2 с той же скоростью движется далее (точка В). Угол разлета шаров θ + φ всегда равен π /2 .

Угол θ нетрудно связать с прицельным расстоянием δ и показать, что

( r₁ + r₂ ) sin θ = δ

Зная δ , диаметры шаров и их массы, найдем θ и β , по данным Р определим Р₂ и Р₁ , которые в свою очередь определяют скорости и направления шаров после удара.