Реферат: Устойчивость роторов с трещинами

Первая проблема, с которой приходится сталкиваться при создании математической модели - это определение закономерности влияния глубины трещины на жесткость ротора. Однако в процессе вращения ротора трещина "дышит", так как на участок с трещиной действует знакопеременный изгибающий момент. Следовательно, данная задача распадается на две составляющие:

· определение максимальной потери жесткости при наличии трещины в статическом положении;

· определение закономерности изменения жесткости в процессе вращения ротора.

Очевидно, что максимальная потеря жесткости соответствует полностью раскрытой трещине. Определить эту потерю жесткости можно с помощью 3-х мерной конечно-элементной модели участка ротора с трещиной. Однако такой подход потребует создания достаточно сложной программы. Чтобы упростить эту задачу, и свести зависимость между потерей жесткости и глубиной трещины к одной формуле или достаточно простому алгоритму из нескольких формул, авторы работ [1,2.3,4,5,7,8,] прибегали к различным методам, которые можно разделить на две категории:

1) аналитическое

2) полуэмпирическое

В работе [1] представлен чисто аналитический метод, где проблема потери жесткости решается с позиций механики трещин. A. D. Dimarogonas и С.А. Papadopoulos приводят выражение для расчета дефицита жесткости одномассового двухопорного ротора.

(1.1)

где Сζ и Сη определяются путем численного решения интегральных уравнений.

Следует отметить, что такой подход не может дать точных результатов, так как напряженное состояние участка ротора рассматривается как сумма плоских напряженных состояний в бесконечно тонких слоях de, что не учитывает взаимодействия между этими слоями. Таким образом, соотношение можно рассматривать только как приближенное.

Формула, отражающая зависимость между дополнительным прогибом и глубиной трещины, представленная А.З. Зиле, Ю.Л. Израилевым и М.Н. Руденко в работах [2,3], была получена с помощью метода, основанного на численном решении двумерной осесимметричной задачи теории упругости для тела с трещиной и методов сопротивления материалов. Для трещины серповидной формы в двухопорном роторе эта зависимость имеет вид

(1.2)

где d - прогиб вала,1(j) - глубина трещины, j - угловая координата, - номинальное напряжение, Е - модуль Юнга,L1 и L2 – расстояние между опорой и трещиной, RВ, RН –внутренний и наружный радиусы ротора, Р - эмпирический коэффициент.

В [3] проведена экспериментальная проверка данной методики. Сравнение показывает удовлетворительное соответствие расчетных и экспериментальных.

В [4] трещина рассматривается как сосредоточенный шарнир и характеризуется шестью степенями свободы (два линейных смещения и четыре угла поворота)

Uy, Uz, FLy,FLz,Fry,Frz

Дополнительное угловое перемещение, обусловленное влиянием трещины, определяется как разность между значениями угла поворота слева и справа от трещины:

(1.3)

где индекс r означает справа, L – слева

Сравнивая различные подходы определения потери жесткости ротора из-за наличия в нем трещины, можно сделать следующие выводы: формулы (1.1), (1.2), (1.3) описывают поведение трещины, как поведение сосредоточенного шарнира (т.е. в месте расположения трещины под действием момента возникает дополнительная угловая деформация). В то время как подход, предложенный в [5] учитывает конечную протяженность зоны влияния трещины.

Как уже отмечалось выше, в процессе вращения ротора знакопеременный изгиб приводит к “дыханию трещины”. В процессе “дыхания” трещина переходит из открытого в закрытое состояние, так как изгибающий момент при вращении ротора меняет свою ориентацию относительно трещины. Если в области трещины имеют место отрицательные напряжения, то трещина влияния на жесткость ротора не оказывает. Кроме того, возможны промежуточные положения, когда часть трещины сомкнута, а другая ее часть разомкнута.

В [6] рассмотрен ротор с развитой трещиной, занимающей значительную часть сечения. Размеры трещины характеризуются углом раскрытия . Следовательно, состояние трещины от угла поворота j, (где t-время, n-0,1,2…-число оборотов) зависит следующим образом: при - полностью закрыта, при 0 - полностью раскрыта, при <j<p и 2<< 2p - частично раскрыта. Для каждой из указанных 4х фаз в [6] приведены данные для моментов инерции Iu, Iv, Iuv сечения с трещиной.

В работах [7,8,9,10,11,12] авторы выбрали упрощенный механизм “дыхания трещины”. Так, соответственно модели, предложенной в [1,8,11,12,], трещина способна принимать только два положения: либо полностью открыта, либо полностью закрыта (в зависимости от изгибающего момента). Никаких промежуточных положений не рассматривается. В работах [1,11] в процессе изменения изгибающего момента происходит скачкообразное изменение момента инерции Ix и Ih В работе [8] изменяется только Ix В [11] у H. D. Nelson и C. Nataray поведение трещины описывает “переключающая” функция, которая способна принимать два значения

(1.4)

где к – изгиб в месте трещины, w - частота вращения, t – время, s - безразмерный “фактор трещины”.

Как известно, динамическая система, возбуждаемая параметрически, может иметь зоны неустойчивости. Ротор с трещиной является именно такой системой, поскольку жесткость его изменяется параметрически пропорционально мгновенной площади поверхности трещины.

Относительно вопроса устойчивости мнения различных авторов расходятся. Так, в [1] этой проблеме уделено большое внимание. A. D. Dimaragonas и C. A. Papadopoulos приводят диаграмму устойчивости для основного и побочных резонансов в случае одномассового ротора. В [4] рассмотрена математическая модель свободно опертого ротора диаметром 18 мм и длиной 1м с трещиной посередине пролета. Задача решалась модифицированным методом Ньюмарка – Уилсона. По мнению авторов, полученные результаты позволяют дать полную картину вибрации ротора с трещиной. Значительное внимание уделено проблеме устойчивости. Отмечено, что устойчивость ротора с поперечной трещиной находится в зависимости от размеров трещины. При малой трещине область неустойчивости удается обнаружить только в зонах скорости вращения чуть ниже критической 0, а так же в зоне 0 / 2. Причем вторая из этих областей оказывается более узкой, чем первая. По мере роста глубины трещины эти области расширяются, и одновременно появляется новая более узкая область неустойчивости в районе ω0/3. При дальнейшем росте трещины такие области появляются на скоростях 2ω0, 2ω0/3, 2ω0/5. Следует отметить, что математическая модель ротора, используемая авторами в [4] была нелинейной (то есть типа (1.10)), и поэтому более полно описывала поведение ротора с трещиной, чем параметрическая модель, в основе которой лежит больше допущений. Однако на нелинейной модели были получены области неустойчивости в окрестностях скоростей Ω = =2ω0/n где n – целое число, что означает наличие параметрических резонансов (если судить по соответствующему уравнению Матье). Отсюда авторы делают вывод: вибрация горизонтального ротора с трещиной является преимущественно параметрической, т.е. главным значащим фактором является параметрическое изменение жесткости во времени, а не нелинейные эффекты.

В [7] W. G. R. Davies и I. W. Mayes отрицают необходимость построения диаграммы устойчивости для ротора реального турбогенератора, так как с проблемой потери устойчивости, вследствие параметрического изменения жесткости ротора, можно столкнуться только при очень большой (более 50% от диаметра) глубины трещины. Если глубина трещины находится в пределах половины диаметра, то эффект жесткости ротора мал, а демпфирование в подшипниках жидкого типа достаточно велико. Если динамика ротора с трещиной анализируется с целью создания системы диагностики трещин, то, по-видимому, не имеет смысла решать проблему потери устойчивости, так как она может возникнуть только при очень глубоких трещинах, в то время как задачей системы диагностики является не допустить развитие трещин до такого размера, при котором возможна потеря устойчивости или внезапное разрушение.

Расчетные результаты, представленные в работах [2,5,6,8,9,10,11] можно отнести к двум возможным моделям ротора с трещиной:

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--