Реферат: Устойчивость сжатых стержней. Прочность при циклически изменяющихся нагрузках (напряжениях)

В нагруженных телах при любом деформированном состоянии имеет место равновесие между внешними и внутренними силами. Деформированное состояние характеризуется формой тела, формой равновесия. Под устойчивостью понимают свойство тела сохранять свою первоначальную форму равновесия.

Рассмотрим формы равновесия при сжатии стержней. При сжатии короткого жесткого стержня (рис. 1, а) его рассчитывают на прочность и жесткость по формулам для осевого сжатия (подразд. 5.4). При сжатии стержня, имеющего достаточно большую длину по сравнению с поперечными размерами, возможно следующее. Пока сжимающая сила F мала и ось стержня (рис. 1, б, г) строго прямолинейна, стержень находится в состоянии устойчивого равновесия. При величине сжимающей силы, равной некоторому критическому значению F_cr ось стержня искривляется (рис. 1, в, д). В этом случае начальная (расчетная) прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой. Критической силой F_cr называется наименьшее значение сжимающей силы, при котором ось сжатого стержня теряет прямолинейность.

По определению Эйлера, критической силой называется сжимающая сила, требуемая для самого малого наклонения колонны.

д

г

в

б

а

Рис. 1

Понятие устойчивости не нужно смешивать с понятием прочности, каждое из них имеет самостоятельное значение. Например, сжатый стержень при действии силы, большей критической, изогнется, но деформации его будут упругими и он после снятия нагрузки восстановит свою первоначальную форму. Потеря устойчивости в этом случае не связана с потерей прочности; но в иных случаях потеря устойчивости, изменяя формы элемента, может привести к разрушению или невозможности элемента выполнять свои функции.

При расчете на устойчивость сжатых стержней, прежде всего, нужно уметь определять величину критической силы F_cr . Критическую силу рассматривают как предельную нагрузку. Допускаемая нагрузка должна быть, естественно, меньше критической

F_adm = F_cr /n_S , (1)

где n_S – коэффициент запаса устойчивости, величину которого принимают большей коэффициента запаса прочности п , так как учитывают дополнительные неблагоприятные факторы: начальную непрямолинейность оси стержня, возможный эксцентриситет действия сжимающей нагрузки и др. Для стальных стержней принимают n_S = 1,8 … 3; для хрупких материалов – до 5,5.

Потеря устойчивости была причиной многих аварий и катастроф; она возможна при кручении, изгибе и сложных деформациях.

Определение критической силы, задача Эйлера

Задача по определению критической силы F_cr впервые была решена Л.Эйлером в 1744 г. Рассмотрим сжатый стержень при условии, что стержень (рис. 2, а) изогнулся, т.е. сжимающая сила равна критической. Для изучения изгиба используем дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня

d² y/dx² = М_и /EI. (2)

а

б

Рис. 2

Изгиб происходит в плоскости минимальной жесткости, т.е. поперечные сечения будут поворачиваться вокруг той оси, относительно которой момент инерции I имеет минимальное значение. Изгибающий момент по абсолютной величине в любом сечении равен

М_и = F_cr ·y, (3)

где у – прогиб поперечного сечения. Так как прогиб у и вторая производная от него d² y/dx² при любом направлении оси у всегда имеют противоположные знаки, уравнение (5.92) выразим как

d² y/dx² = (–F_cr ·y)/(EI). (4)

Обозначая

k² = F_cr /(EI), (5)

представим уравнение (5.94) в виде y'' + k² y = 0. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение имеет вид

y = C sin kx + D cos kx. (6)

Для определения постоянных интегрирования С и D используем известные граничные условия, а именно, условия крепления на концах стержня: при х = 0 и при х = ℓ прогиб отсутствует, т.е. у = 0.

Подставляя в уравнение (6) данные первого условия, определим, что D = 0, а стержень изгибается по синусоиде у = Csinkx. Из второго граничного условия найдем С sinkℓ = 0. Полученное соотношение справедливо, если С = 0 или sinkℓ = 0. Если считать С = 0, то при D = 0 прогиб (5.96) во всех поперечных сечениях по длине стержня при любых значениях х отсутствует, что противоречит исходной предпосылке. Выражение sinkℓ = 0 справедливо, когда kℓ = nπ, где n – произвольное целое число (n = 0, 1, 2, …). Подставляя значение k = (πn)/ℓ в выражение (5), получим что

F_cr = k² EI = (π² n² EI)/ℓ² . (7)

Чтобы стержень сохранял криволинейную форму, необходимо, чтобы сила была отлична от нуля, т.е. n ≠ 0. С практической точки зрения интерес представляет наименьшее значение критической силы, при действии которой происходит искривление оси стержня, потеря устойчивости. При n = 1 получаем наименьшее значение критической силы, равное

F_cr = (π² EI)/ℓ² . (8)

Используя особенности упругой линии, можно распространить полученное решение на другие случаи закрепления стержня. Так, если стержень на одном конце жестко защемлен, а на другом – свободен (рис. 2, б), то упругую линию стержня легко привести путем зеркального отображения относительно заделки к упругой линии шарнирно закрепленного стержня (рис. 2, а). Очевидно, критическая сила стержня с таким закреплением длиной ℓ будет равна критической силе шарнирно закрепленного стержня длиной 2ℓ.

Общее выражение критической силы для сжатого стержня в обобщенном виде с учетом его типа крепления примет вид

F_cr = (π² EI)/(υℓ)² (9)

где υ – коэффициент приведения длины стержня (коэффициент Ясинского), т.е. число, показывающее, во сколько раз нужно изменить длину шарнирно опертого с обоих концов стержня, чтобы критическая сила его была равна критической силе стержня с конкретными условиями закрепления. Чаще всего концы сжимаемых стержней закрепляют одним из четырех способов, показанных на рис. 3. Коэффициенты приведения длины указаны на схемах крепления. Наиболее чувствительным к потере устойчивости является крепление, представленное на рис 3, а и наименее чувствительным – на рис. 3, г . Отметим, что применение формулы (5.99) правомерно только при условии, что деформация сжатого стержня в момент потери начальной формы равновесия является упругой.

Рис. 3

Прочность при циклически изменяющихся нагрузках (напряжениях). Понятие об усталости материалов

Работа механизмов характеризуется определенностью движений и нагружений звеньев, повторяемостью через определенные промежутки времени (периоды) этих движений. Значительная часть элементов механизмов (валы, зубья зубчатых колес и т.д.) испытывает в процессе эксплуатации периодические изменяющиеся по величине и знаку механические нагрузки. Замечено, что при таком нагружении разрушение деталей происходит при напряжениях, значительно меньших предельных напряжений (предела текучести) при статическом нагружении. Характер разрушения материалов при переменных повторяющихся нагрузках существенно отличается от вида разрушения при статическом нагружении. Разрушение начинается с образования на поверхности элементов микротрещин, которые развиваются вглубь материала, уменьшая площадь поперечного сечения детали. Разрушение происходит внезапно при достаточном ослаблении сечения и на поверхности разрушения видны две характерные зоны: зона постепенного развития трещины и зона внезапного разрушения. Процесс постепенного накопления повреждений под действием повторяющихся знакопеременных нагрузок, приводящий к внешне непроявляющемуся изменению свойств (электропроводимость, микротвердость и др.) материала, к зарождению и развитию трещин, и, наконец, к разрушению элемента, называют усталостью . Усталостное разрушение – длительный процесс, связанный с многократным нагружением. Свойство материала (изделия) сопротивляться усталости называют выносливостью, или усталостной прочностью .

Совокупность последовательных значений напряжений (нагрузок) за один период называют циклом напряжений (нагрузок). Замечено, что сопротивление усталости зависит от значений наибольшего и наименьшего напряжений цикла, их отношения и практически не зависит от закона изменения (синусоидальный, треугольный, трапецеидальный и др.) напряжений внутри цикла. Будем считать, что напряжения меняются во времени по закону, близкому к синусоиде (рис. 4). Цикл напряжений характеризуется следующими величинами: максимальным σ _max и минимальным σ _min напряжениями, т.е. наибольшим и наименьшим по алгебраическому значению (с учетом знаков) напряжениями; средним напряжением σ _m , равным алгебраической полусумме σ _max и σ _min (σ_m = (σ_max + σ_min )/2); амплитудой цикла напряжений σ _a , равной полуразности σ _max и σ _min (σ_a = (σ_max – σ_min )/2); коэффициентом асимметрии цикла R , равным отношению минимального напряжения к максимальному, т.е. R = σ_min / σ_max . На рис. 4, а показан асимметричный цикл напряжений, когда |σ_max | ≠ |σ_min |. Наиболее часто на практике встречаются симметричный и отнулевой циклы напряжений. Для симметричного цикла имеем σ_max = σ; σ_min = –σ; σ_a = σ; σ_m = 0; R = –1; а для отнулевого (пульсационного): σ_max = σ; σ_min = 0; σ_a = σ_m = σ/2; R = 0, где σ – максимальное по величине напряжение цикла. Постоянное статическое напряжение (рис. 4, г) можно рассматривать как частный случай переменного с параметрами σ_max = σ_min = σ_m = σ; σ_a = 0; R = + 1. Наиболее опасны симметричные циклы нагружения.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--