Реферат: Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та полярних координатах. Площа

П лан

Довжина дуги кривої в декартових і полярних координатах

• Площа поверхні
• Площа поверхні обертання
• Площа циліндричної поверхні

10.3. Довжина дуги

Це питання для кривої , заданої рівнянням , вже розглядалося в п.9.1. Там була знайдена формула

(10.9)

Якщо крива задана параметрично, тобто у вигляді то

(10.10)

Для просторової кривої, заданої параметрично , довжина дуги обчислюється за формулою

(10.11)

аналогічно формулі (10.10). Виведення цієї формули базується на розгляді елемента дуги, кінці якої збігаються з кінцями діагоналі паралелепіпеда, а саме, діагональ є хордою елемента дуги.

У випадку задання кривої в полярній системі координат , матимемо

(10.12)

Пропонується вивести цю формулу, узявши до уваги, що рівняння кривої в полярних координатах можна записати як параметричні з параметром q :

і використавши формулу (10.10).

Приклад 1. Обчислити довжину кривої, заданої рівнянням .

Р о з в ‘ я з о к.Досить обчислити довжину дуги, що обмежує зверху заштриховану на рис.10.7 фігуру, а потім помножити її на 8. Користуючись формулою (10.12), одержимо

10.4. Площа поверхні

10.4.1. Площа поверхні обертання

Довжина дуги, що обмежує смужку зверху (рис.10.9),

Ця дуга в разі обертання утворить поверхню обертання, площа якої дорівнюватиме бічній поверхні конуса, який має висоту , а радіуси основ його . Тоді площа поверхні цього конуса нескінченно малої висоти

Нескінченно малою вищого порядку нехтуємо і в результаті одержимо звідки

(10.7)

10.4.2. Площа циліндричної поверхні

На рис. 10.10 зображено циліндричну поверхню з твірними, паралельними осі . Нехай ця поверхня задана рівняннями

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--