Реферат: Влияние математики на философию и логику

В-четвертых, в рамках не только общей, но и математической логики можно выделить целый ряд разделов, теорий и формально-логических систем, которые исследуют разные аспекты не только дедуктивной теории вывода, но и тесно связанных с ней проблем, например определения терминов и понятий, семантической теории значений и т. п. В этом смысле часто говорят, например, о многозначной, модальной, вероятностной, эпистемической, нормативной и других логиках. Подобного рода не-классические логики анализируют такие типы логического вывода, в котором высказывания характеризуются не с помощью двух значений истинности, какими являются истина и ложь, но учитывают и некоторые иные их характеристики, например возможность и необходимость, степень подтверждения, или вероятность и другие. В настоящее время исследования по неклассическим логикам получили заметный размах в связи с потребностями не только специальных наук, но и философии, в силу чего возникло даже особое направление под названием философской логики.

Какую же логику имеют в виду Рассел и его последователи, когда говорят о дедукции из нее чистой математики?

Как мы уже видели, для такой дедукции у Фреге используется формальная система «Основных законов арифметики», а у Рассела и Уайтхеда — логицистическая система «Principia Mathematica». Поэтому когда они говорят о логике, то подразумевают под ней математическую логику, представленную в виде формализованной логико-математической системы, т. е. речь в этом случае идет о логике в четвертом значении термина «логика». При этом важно обратить внимание на то, что в такой системе логические термины и принципы строго не отделены от математических, а иногда отдельные принципы вроде аксиомы бесконечности и свободного выбора без какой-либо аргументации объявляются логическими, хотя большинство математиков относит их к теории множеств, а следовательно, к математике.

Если бы логицисты под логикой понимали математическую логику в собственном смысле этого слова, т. е, подразумевали под ней применение математических методов к логике, что соответствует третьему значению термина «логика» в вышеприведенной классификации, тогда было бы невозможно вывести из нее чистую математику. К тому же при таком понимании следовало скорее рассматривать саму логику или по крайней мере ее формально-логические системы как часть математики, кав науки об абстрактных структурах. Именно так подходят к решению этого вопроса формалисты и интуиционисты.

Таким образом, несостоятельность программы логицизма, выдвинутой Г. Фреге и Б. Расселом на ранней стадии эволюции этого направления, подтверждается не только чисто научными, логико-матема?