Реферат: Временные характеристики и функция времени. Графическое представление частотных характеристик

, .

Фактически, импульсная переходная функция почти никогда не вычисляется в соответствии с этими определениями. Для этой цели используются замечательные свойства самой импульсной переходной функцией и ее связью с другими временными характеристиками системы.

Напомним, что преобразование Лапласа выходного процесса равно передаточной функции, умноженной на преобразование Лапласа входного процесса:

,

и что изображение d - функции равно единице. Подставим в последнее выражение единичное значение изображения входного процесса и убедимся, что импульсная переходная функция равна реакции системы при действии на ее входе d -импульса.

Под d - импульсом, как нетрудно догадаться, понимается импульс, математической моделью которого является d - функция. Это объясняет происхождение названия рассматриваемой временной характеристики.

Импульсная переходная функция обладает рядом замечательных свойств. Одно из них касается условия устойчивости, а другое – условия физической осуществимости.

Импульсная переходная функция любой устойчивой системы должна не только стремиться к нулю при увеличении аргумента, но и быть абсолютно интегрируемой

.

Импульсная переходная функция ) любой физически осуществимой системы должна быть равна нулю при отрицательных значениях аргумента

.

Действительно, в любой физически осуществимой системе реакция системы не может наступить раньше причины, ее вызвавшей. В рассматриваемом случае входным воздействием, реакцией на которое является импульсная переходная функция, служит d - импульс, который равен нулю при отрицательных значениях аргумента. Следовательно, и реакция на такое воздействие должна быть равна нулю при отрицательных значениях аргумента.

Фактическое определение импульсной переходной функции, как реакции на d - воздействие, связано с определенными трудностями.

Во-первых, d - импульс бесконечно большой амплитуды, бесконечно малой длительности и единичной площади можно реализовать только приближенно. При этом суждение о том, достаточно ли малая длительность и достаточно ли большая амплитуда, чтобы реакция системы была достаточно близкой к импульсной переходной функции, сказать трудно. Кроме того, не всякая система допускает подачу на ее вход импульса выше определенной величины. Все сказанное о подобном способе определения имеет отношение только к экспериментам над математическими моделями, но не над физическими объектами. Следующая временная характеристика, с одной стороны, имеет очень простую связь с только что рассмотренной, а с другой стороны, допускает сравнительно простую реализацию.

3 Единичная переходная функция

Под единичной переходной функцией понимают реакцию системы на единичное ступенчатое воздействие.

Так как изображение по Лапласу единичной ступенчатой функции известно, то не трудно определить изображение по Лапласу ) единичной переходной функции :

при нулевых начальных условиях. Ясно, что оригинал может быть получен с помощью обратного преобразования найденного изображения. Однако проще воспользоваться каким либо другим способом определения реакции системы на столь простое воздействие.

Предложенная интерпретация единичной переходной функции как реакции на единичное ступенчатое воздействие может служить и основой экспериментального определения этой характеристики. Единичное ступенчатое воздействие, как и дельта -функция, является математической идеализацией реальных сигналов, которые предельно резко меняют свое значение с одного уровня на другое. Единственное различие между идеализированном сигналом и реальным – это время перехода из одного состояния в другое. Имея представление о быстродействии исследуемой системы всегда можно сказать, пренебрежимо мало оно или нет.

Между единичной переходной характеристикой и импульсной переходной функцией существует очень простая связь. Достаточно определить одну из них как определение другой уже не представляет труда.

Не трудно показать, что

.

Таким образом, импульсная переходная и единичная переходная функции связаны межу собой как производная и интеграл. Другими словами, наряду с только что приведенным выражением справедливо и выражение

.

4 Связь между входным и выходным процессами во временной области

Изображение выходного процесса равно произведению изображения входного процесса на изображение импульсной переходной функции :

.

Согласно одной из теорем о преобразовании Лапласа, произведению изображений соответствует свертка оригиналов, т.е. из последнего выражения следует

(1)

и