Реферат: Введение в аксиоматику квантовой механики

могут быть использованы различные пространственные переменные (прямоугольные-декартовы, косоугольные, полярные (шаровые, цилиндрические или эллиптические). Их полная совокупность, достаточная для составления исчерпывающих уравнений механики в конкретной задаче, называется конфигурационным пространством K . Координаты могут быть декартовы { x ₁ , y ₁ , z ₁ , x ₂ , y ₂ , z ₂ , x ₃ , y ₃ , z ₃ , ... x_n , y_n , z_n }, или полярные, например, шаровые { r ₁ , J ₁ , j ₁ , r ₂ , J ₂ , j ₂ , r ₃ , J ₃ , j ₃ , ... r_{n ,} J _n , j _n }, или любые другие - в общем виде: . Максимальная размерность конфигурационного пространства K равна 3 n - утроенному числу частиц в системе. Принадлежность переменных к конфигурационному пространству можно указать с помощью символов - кванторов включения, например, в виде: .

5.1. Постулат 1. Волновая функция и её свойства (конечность, однозначность, непрерывность и нормировка).

Формулировка :

Всякое состояние квантово-механической системы описывается функцией со-стояния - волновой функцией, заданной на многообразии всех переменных конфи-гурационного пространства системы, и также времени:

Волновые функции обязаны удовлетворять нескольким математическим требованиям. Они должны быть: 1)конечны , 2)однозначны , 3)непрерывны , 4)нормированны , т.е.:

; (5.1)

Область интегрирования охватывает весь возможный диапазон значений каждой переменной во всём пространстве K . Вероятностный смысл волновой функции:

. (5.2)

Нормировка оказывается условием суммирования плотности вероятности во всём конфигурационном пространстве. Квадрат модуля волновой функции является плотностью вероятности, с которой физическая система, пребывая в том физическом состоянии, которое описывается волновой функцией Y, распределена по конфигурационному пространству. Функции, отвечающие условиям 1, 2, 3 называются регулярными.

Волновая функция это математический образ квантово-механического состояния физической системы. Конечно же, это функция механического состояния системы.

5.2. Постулат 2. Измерения физических величин и операторные уравнения на собст-венные значения эрмитовых операторов

Формулировка :

Разрешёнными значениями динамической переменной являются те, что являются собственными значениями эрмитова оператора данной динамической переменной:

. (5.3)

Операторные уравнения являются математическими образами измерений. Операторы удобно рассматривать в качестве образов макроскопических приборов. Выражения для операторов основных динамических переменных. Оператор импульса и его rомпоненты (из формулы бегущей волны де Бройля). Операторы координат и оператор потенциальной энергии совпадают с самими этими переменными. Взаимосвязь операторов различных динамических переменных определяется тем, что они отображают макроскопическое устройство приборов. Операторы момента импульса одной частицы и его компонент имеют вид , оператор кинетической энергии единственной частицы равен , а для системы нескольких частиц представляет собою сумму вида . Радиус-вектор частицы , и его оператор представляет собой просто множитель перед волновой функцией, т.е. имеет вид: . Оператор потенциальной энергии это также просто множитель перед волновой функцией U (r )×, оператор полной энергии – гамильтониан складывается из операторов кинетической и потенциальной энергии: . (5.4) Принимается, что и операторы всех прочих динамических переменных построены из этих двух по формулам классической механики.

Причина классической схемы взаимосвязи кроется в том, что операторы являются образами макроскопически устроенных приборов, а конструкционные компоненты которых подчиняются законам классической (макроскопической ) физики.

Состояния и волновые функции, соответствующие определённым квантованным значениям физически наблюдаемой величины, - тем, которые непосредственно проявляются в измерениях, называются чистыми.

5.3. Постулат 3. Уравнения Шрёдингера (временн o е и стационарное)

Формулировка :

Волновые функции, описывающие возможные состояния изменяющейся во вре­мени физической системы, являются решениями временного уравнения Шрёдингера :

. (5.5)

Для стационарной системы уравнение Шрёдингера принимает вид операторного уравнения на собственные значения гамильтониана:

(5.6)

Обратимся к стационарным системам. Введём гамильтониан, не зависящий от времени, и получится стационарное уравнение Шрёдингера. Выявим смысл комплексного сопряжения волновых функций как признак механической обратимости во времени реше­ний уравнения Шрёдингера:

Результат (5.9) это стационарное уравнение Шрёдингера. Оно представляет собой операторное выражение закона сохранения энергии стационарной системы. Это чисто пространственная часть общего решения. Временная часть описывает периодический процесс.

Внимание! Операция комплексного сопряжения временной компоненты волновой функции состоит в замене знака перед аргументом - временем в показателе комплексной экспоненты. Эта простая алгебраическая операция совершенно идентична простой замене знака перед переменной времени. Получается, что при изменении отсчёта времени на об­ратное, не изменяются законы, которым починяется физическая система. Это важнейший результат, состоящий в том, что уравнение Шрёдингера описывает процессы, обратимые во времени.

5.4. Постулат 4. Суперпозиция состояний

Состояния чистые и смешанные. Математические и физические основания принципа суперпозиции

Формулировка 1 (скорее математическая) :