Реферат: Введение в математический анализ 2
Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn , то говорят, что задана последовательность
x1, х2 , …, хn = {xn }
Общий элемент последовательности является функцией от n.
xn = f(n)
Таким образом последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента.
Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.
Пример. {xn } = {(-1)n } или {xn } = -1; 1; -1; 1; …
{xn } = {sinpn/2} или {xn } = 1; 0; 1; 0; …
Для последовательностей можно определить следующие операции :
1) Умножение последовательности на число m: m{xn } = {mxn }, т.е. mx1 , mx2 , …
2) Сложение (вычитание) последовательностей: {xn } ± {yn } = {xn ±yn }.
3) Произведение последовательностей: {xn }×{yn } = {xn ×yn }.
4) Частное последовательностей: 
при {yn } ¹ 0.
Ограниченные и неограниченные последовательности.
Определение. Последовательность {xn } называется ограниченной , если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:
т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).
Определение. Последовательность {xn }называется ограниченной сверху , если для любого n существует такое число М, что
xn £M.
Определение. Последовательность {xn }называется ограниченной снизу , если для любого n существует такое число М, что
xn ³M
Пример. {xn } = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.
Определение. Число а называется пределом последовательности {xn }, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > Nвыполняется условие:
Это записывается: limxn = a.
В этом случае говорят, что последовательность {xn }сходится к а при n®¥.
Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.
Пример. Доказать, что предел последовательности lim
.
Пусть при n > Nверно 
, т.е. 
. Это верно при 
, таким образом, если за Nвзять целую часть от 
, то утверждение, приведенное выше, выполняется.
Пример. Показать, что при n®¥последовательность 3, 
имеет пределом число 2.
Итого: {xn }= 2 + 1/n; 1/n = xn – 2
Очевидно, что существует такое число n, что 
, т.е. lim {xn } = 2.
Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.
Доказательство. Предположим, что последовательность {xn }имеет два предела aи b, не равные друг другу.
xn ®a; xn ®b; a¹b.
Тогда по определению существует такое число e >0, что
Запишем выражение: 
А т.к. e- любое число, то 
, т.е. a = b. Теорема доказана.
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--