Реферат: Вычисление двойных интегралов методом ячеек

Теоретическая часть…………………………………………3

Задание………………………………………………………..4

Текст программы. ……………………………………………5

Блок-схема программы…………………….………………...6

Выполнение программы в математическом пакете………..7

Список использованной литературы……………………......8

Теоретическая часть.

Численные методы могут использоваться для вычисления кратных интегралов. Ограничимся рассмотрением двойных интегралов вида

I = (1)

Одним из простейших способов вычисления этого интеграла является метод ячеек . Рассмотрим сначала случай, когда областью интегрирования G является прямоугольник: , .По теореме о среднем найдём среднее значение функции f ( x , y ) :

S =( b - a )( d - c ). (2)

Будем считать, что среднее значение приближённо равно значению функции в центре прямоугольника, т. е. . Тогда из (2) получим выражение для приближённого вычисления двойного интеграла:

(3)

Точность этой формулы можно повысить, если разбить область G на прямоугольные ячейки D_ij (рис. 1): x_{i -1 i} (i =1,2,…,M), y_{i -1 i} (j =1,2,…,N). Применяя к каждой ячейке формулу (3), получим

òò_{D Gij} f ( x , y ) dxdy » ¦ ( ) D x_i D y_i .

Суммируя эти выражения по всем ячейкам, находим значение двойного интеграла:

_I , _j ) (4)

В правой части стоит интегральная сумма; поэтому при неограниченном уменьшении периметров ячеек (или стягивания их в точки) эта сумма стремится к значению интеграла для любой непрерывной функции f ( x , y ) .

Можно показать, что погрешность такого приближения интеграла для одной ячейки оценивается соотношением

R_ij » D x_i D y_{j .}

Суммируя эти выражения по всем ячейкам и считая все их площади одинаковыми, получаем оценку погрешности метода ячеек в виде

O ( D x ² + D y ² ) .

Таким образом, формула (4) имеет второй порядок точности. Для повышения точности можно использовать обычные методы сгущения узлов сетки. При этом по каждой переменной шаги уменьшают в одинаковое число раз, т. е. отношение M / N остаётся постоянным.

Если область G непрямоугольная, то в ряде случаев её целесообразно привести к прямоугольному виду путём соответствующей замены переменных. Например, пусть область задана в виде криволинейного четырёхугольника: , . Данную область можно привести к прямоугольному виду с помощью замены , . Кроме того, формула (4) может быть обобщена и на случай более сложных областей.

Задание .Найти при помощи метода ячеек значение интеграла , где – область, ограниченная функциями .

Текст программы.

#include<conio.h>

#include<iostream.h>

float f(float,float);

void main() {

const float h1=.0005,h2=.001;

float s1,x,y,i,I;

clrscr();

s1=h1*h2;

I=0;

y=h2/2;

x=1-h1/2;

for(i=0;i<1/h2;i++) {

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--