Реферат: Вычисление интеграла фукции f (x) (методом Симпсона WinWord)

Рис.2.

В моей курсовой работе рассматривается приближенное вычисление интеграла (1)

При его аппроксимации заменим функцию f(x) параболой, проходящей через точки т.е представим приближенно f(x) в виде

где - интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени,

. (2)

Проводя интегрирование получим

Таким образом приходим к приближенному равенству

(3)

Котрое называется формулой Симпсона или формулой парабол.

На всем отрезке [a,b] формула Симпсона имеет вид

Чтобы не использовать дробных индексов можно обозначить

x_i =a+0,5hi, f_i =f(x_i ), i=1,2,…,2N, hN=b-a

и записать формулу Симпсона в виде

(4)

Прежде чем переходить к оценке погрешности формулы (3) заметим, что она является точной для любого многочлена третьей степени, т.е. имеет место точное равенство

если f(x)=a₀ +a₁ x+a₂ x² +a₃ x³ . Это утверждение нетрудно проверить непосредственно.

Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся интерполяционным многочленом Эрмита. Построим многочлен третьей степени H₃ (x) такой, что

.

Такой многочлен существует и единствен.

Однако нам даже не потребуется явный вид многочлена H₃ (x). Вспоминая, что формула Симпсона точна для любого многочлена третьей степени, получим

(5)

Представим теперь f(x) в виде

f(x)=H₃ (x)+r_i (x), xÎ[x_i-1 ,x_i ], (6)

где r_i (x) – погрешность интерполирования многочленом Эрмита H₃ (x). Интегрируя (6) и учитывая (5), получим