Реферат: Задача о бесконечной ортотропной пластинке

Подставляя полученные перемещения в неиспользованные соотношения уравнений Коши, и приравнивая к 0 сомножители при степенях x₃ , получим:

(11)

(12)

(13)

Исходя из того, что:

функция D будет иметь вид:

(14)

Тогда с учетом системы (7) получим:

(15)

Исключая V₁ , U₁ , W₁ ( путем дифференцирования, сложения и вычитания) получим:

(16)

(17)

Подставляя в уравнения (16) и (17) выведенные нами выражения для напряжений через функции F(x₁ ,x₂ ) и y(x₁ ,x₂ ) и группируя получим:

(18)

где L₄ , L₃ , L₂ - дифференциальные операторы в частных производных 4-го, 3-го и 2-го порядков:

Уравнения (18) представляют собой систему 2-х дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнения - линейные, неоднородные, с постоянными коэффициентами.

Общее решение системы (18) для функций напряжения можно представить в виде:

F₀ и y₀ - общее решение соответствующей однородной системы:

(19)

F^* и y^* - частные решения неоднородной системы уравнений (18). Частные решения зависят от правых частей уравнений и если эти правые части несложны, то и частные решения обычно описать нетрудно.

Чтобы получить общее решение однородной системы (19) исключим из нее y_0:

(20)

В силу симметрии L их можно менять местами:

(21)

Таким образом, мы получили линейное дифференциальное уравнение 6-го порядка для функции F. Аналогично находим уравнение для y:

(22)

Оказалось, что F₀ и y₀ должны удовлетворять одинаковым условиям. Оператор 6-го порядка можно разложить на 6-ть линейных операторов 1-ого порядка D_k и уравнение (21) представить в виде:

(23)

Из теории диф. уравнений и условия что функция F₀ зависит только от x₁ и x₂ для D_k имеем:

(24)

где - это корни алгебраического (характеристического) уравнения шестой степени, соответствующего дифференциальному уравнению (21).

Интегрирование линейного уравнения 6-го порядка можно свести к последовательному интегрированию шести уравнений первого порядка. В результате получим следующие общие выражения:

Если среди корней характеристического уравнения есть кратные, задача упрощается, однако решение системы (19) может быть найдено в любом случае исходя из следующих рассуждений.

Любые 6 вещественных чисел можно принять в качестве значений независимых компонент тензора напряжений в данной точке упругого анизотропного тела. Удельная потенциальная энергия деформации есть величина положительная при любых вещественных и не равных нулю значениях компонент тензора напряжений в данной точке. Исходя из этих предположений можно доказать теорему, согласно которой алгебраическое характеристическое уравнение системы (21), не имеет вещественных корней. Поэтому можно утверждать, что числа в общем решении системы (19), а также в условиях связи всегда комплексные или чисто мнимые.

Наряду с комплексными параметрами вводят и систему комплексных переменных:

Введение комплексных переменных позволяет использовать при аналитическом решении рассматриваемой задачи об упругом равновесии анизотропного тела математический аппарат и методы функций комплексных переменных. Эти методы, применительно к данной задаче являются очень эффективными и позволяют получить аналитическое решение многих плоских задач теории упругости анизотропного тела.

2. Прикладная часть

2.1 Физическая постановка задачи.

?????????? ??????????? ????????? ?? ???????????? ????????? ? ????????????? ?????????? ? ??????. ??????????? ??????? ???? ??????? ????????? ? ???????? ????? ????????? ?????????, ?????? ????????? ?? ????????????? ????? ??????? ????.

Введем следующие обозначения 2a, 2b - главные оси эллипса, с=a/b, р - усилие на единицу площади. В нашем случае отношение полуосей эллипса с=1/2. Вдоль оси 1 на бесконечности приложено растягивающее усилии р, а вдоль оси 2 - сжимающее -р. Наша задача найти напряжения на краю отверстия и построить их эпюру.

2.2 Упругие свойства материала.

Пластинка сделана из стеклопластика C-II-32-50 со следующими характеристиками:

Е₁ =13,0 ГПа;

Е₂ =19,8 ГПа;

Е₃ =7,8 ГПа;

G₁₂ =4,05 ГПа;

G₁₃ =6,4 ГПа;