Реферат: Задача обработки решеток

Поскольку является линейно-независимым ìíîæåñòâîì функций на K, то отсюда следует, что каждый вектор p â может быть единственным образом связан ñ вещественно-значным -полиномом P(k) íà Ê посредством соотношения

(3.2)

Вектор будет называться положительным, если на К . Р будет обозначать множество этих векторов, связанных с положительными -полиномами. Из компактности К, как можно показать, следует, что Р является выпуклым конусом с вершиной в начале координат. /Множество С является конусом с вершиной в начале координат, если подразумевает для всех [10]. Конусы являются важными видами множеств в задаче спектральной оценки, поскольку только умножение на положительные вещественные числа переводит корреляционную функцию в другую корреляционную функцию, а -полином в другой -полином./

Внутреннее произведение вектора r корреляционных выборок и вектора р полиномиальных коэффциентов будет определяться как

(3.3)

Это внутреннее произведение дает возможность по новому записать -полином: , где обозначает вектор с компонентами . Отметим также, что если , то , что cooтветствует выражению соотношению Парсеваля.

1.2.3 Характеристики продолжаемости

Пусть Е обозначает множество продолжаемых векторов корреляции. То есть , если

(3.4)

для некоторой положительной меры на К . Из свойств интеграла следует, что, Е является замкнутым выпуклым конусом с вершиной в начале координат. Кроме того, сечение по Е при :

(3.5)

является выпуклой оболочкой компактного множества

(3.6)

является выпуклой оболочкой компактного множества

Итак, Е - замкнутый выпуклый конус с вершиной в начале координат, генерируемой посредством А. Эта характеристика продолжаемой корреляция аналогична той, которую дал первоначально Каратеодори в 1907 году для задачи тригонометрических моментов [I]. Важность этого состоит в том, что множество продолжаемых векторов корреляции описывается в терминах простого множества А. Это дает также ясную геометрическую картину продолжаемости и будет полезно в доказательствах.

Вторая характеристика продолжаемости, которая является более полезной при разработке методов спектральной опенки, происходит из того факта, что Е выражается в виде пересечения всех замкнутых полупространств, содержащих его [10]. Эта характеристика включает дуальность, так как полупространства определяются линейными функционалами, т.е. элементами дуального пространства. Замкнутое полупространство определяется посредством вектора q, и вещественного числа с в виде множества

(3.7)

Чтобы определить отдельные полупространства, содержащие Е , достаточно рассмотреть те корреляционные векторы, которые генерируют Е : положительные кратные векторов во множестве А . Замкнутое полупространство содержит Е тогда и только тогда, когда для каждого и каждого . Поскольку можно сделать произвольно большой, должно быть истинным то, что , т.е. q - член конуса Р . Наименьшее полупространство, содержащее Е для такого q соответствует выбору с = 0. Итак,

(3.8)

или, словами, следующее.

Теорема о продолжимости : .вектор является продолжимым тогда и только тогда, когда для всех положительных p.

Таким образом, положительные полиномы естественно имеют место в задаче продолжаемости, поскольку они определяют гиперплоскости основы множества Е продолжаемых векторов корреляции. На языке функционального анализа теорема о продолжимости, которая является видом леммы Фаркаша [11], просто констатирует, что Е и Р - положительные сопряженные конусы.[10]. Эта теорема имеет важное следствие относительно перемещения простой характеристики Р , в терминах положительности, на характеристику Е . Хотя введение спектральной основы в рассматриваемую задачу является новым, по существу та же характеристика продолжимости была первоначально использована Кальдероном и Пепинским [l2], и Рудиным [l3].

Рисунок 4 демонстрирует зависимость Е от спектральной основы. Существуют две точки зрения на эту зависимость. Прямая точка зрения отмечает тот факт, что Е является выпуклым конусом, генерированным А ; поскольку К уменьшилось, А сжалось и Е теперь меньше, чем на рис.3. Косвенная точка зрения включает ограничения; множество К ограничивает множество Р посредством условия о положительности, а множество Р ограничивает множество P посредством теоремы продолжимости. Итак, когда К сжимается, Р растет, и Е сжимается.

Для случая временной последовательности теорема о продолжимости сводится к тесту положительной определенности теплицевой матрицы, образованной из корреляционных выборок. Следовательно, о продолжимости можно говорить как об общем аналоге положительной определенности.

Пример 3.1 : Случай временной последовательности; D=1, .B этом случае, проблема продолжимости сводится к проблеме тригонометрических моментов [9]. Хотя это и не справедливо в общем случае, для случая временной последовательности, как следует из фундаментальной теоремы алгебры, положительный полином может быть факторизован в виде квадрата модуля М -той степени тригонометрического полинома

.

Внутреннее произведение становится теплицевой формой в коэффициентах

Таким образом, требование того, чтобы внутреннее произведение было положительным для всех полиномов сводится к требованию положительной определенности теплицевой формы, соответствующей корреляционным измерениям.

1.3 Граница и внутренняя часть

Необходимо будет делать различие между границей и внутренней частью множеств Е и Р . Рассмотрение метода Писаренко в разделе 17, к примеру, включает векторы на границах Е и Р . Векторы во внутренней части Е и P являются важными тогда, когда затрагиваются пункции спектральной плотности, как например, в методе спектральной опенки по способу максимальной энтропии [l4].

Граница замкнутого множества состоит из тех членов, которые находятся произвольно близко к некоторому вектору снаружи множества. Внутренняя часть замкнутого множества состоит из тех членов, которые не находятся на границе. .

Граница и внутренняя часть конечного измеримого множества не зависит от частного выбора нормы вектора [15]. Кроме того, поскольку Р и Е являются выпуклыми множествами, особенно просто охарактеризовать их внутренний части и границы.

Граница Р , обозначаемая , состоит из тех положительных полиномов, которые равны нулю для некоторых . Внутренняя часть Р , обозначаемая , состоит из тех полиномов, которые строго положительны на К .

Положительные полиномы могут быть использованы для определения границы и внутренней части Е . Граница Е , обозначаемая , состоит из тех продолжимых корреляционных векторов, которые превращают в нуль внутреннее произведение с некоторым ненулевым положительным полиномом. Внутренняя часть Е , обозначаемая , состоит из тех корреляционных векторов, которые делают строго положительными внутренние произведения с каждым ненулевым положительным полиномом.

1.3.1 Функции спектральной плотности мощности

Многие методы спектральной оценки представляют спектр мощности не как меру, а в виде функции спектральной плотности. Это ведет к модификации задачи продолжимости: если задана фиксированная положительная конечная мера , которая определяет интеграл

(3.9)

то какие корреляционные векторы могут быть произведены от некоторой строго положительной функции ? При одном дополнительном ограничении на , которое легко удовлетворяется на практике, модно показать, что векторы, которые могут быть представлены таким образом, являются векторами, находящимися во внутренней части Е . Кроме того, можно показать, что любой век

тор во внутренней части Е может быть представлен в форме /3.9/ для некоторой непрерывной, строго положительной .

Теорема продолжимости для функций спектральной плотности:

Если каждое соседство каждой точки в К имеет строго положительную -меру, то