а) K = 20000×I_2.5 ⁴ = 20000×(1 + 10/(100×4))⁴ = 20000×1.104 = 22076 д.е.

б) K = 20000×I_10/12 ¹² = 20000×(1 + 10/(100×12))¹² = 20000×1.105 = 22094 д.е.

При антисипативном (a) способе расчета сложных процентов:

K_mn = K×I_q/m ^mn , I_q/m = 100m/(100m - q),

где q – годовой прцент.

а) K = 20000×(100×4/(100×4 – 10))⁴ = 20000×1.107 = 22132 д.е.

б) K = 20000×(100×12/(100×12 – 10))¹² = 20000×1.106 = 22132 д.е.

Задача 6. Номинальная годовая ставка – 30%. Найти уравнивающую процентную ставку при начислении сложных процентов каждые 3 месяца.

Решение

= 6.779%.

Задача 7. По одному из вкладов в банке в течение 20 лет накоплено 200 000 д.е. Найти сумму, положенную на счет первоначально, если годовая процентная ставка (d) составляет 8%.

Решение

K₀ = K_n ×r^-n = K_n ×II_8% ²⁰ = K_n ×(1 + p/100)^-n = 200000×(1 + 8/100)^-20 =
= 200000×0.21454 = 42909 д.е.,

где r = (1 + p/100) – сложный декурсивный коэффициент.

Задача 8. Каждые три месяца в банк вкладывается по 500 д.е. Какова будет совокупная сумма этих вкладов в конце 10-го года при процентной ставке 8% и годовой капитализации.

Решение

Сначала для годовой процентной ставки 8% определим процентную уравнивающую ставку:

=1.9427%

Затем полученную уравнивающую ставку поместим в следующую формулу:

S_vmn = u×, где r_k = 1 + p_k /100,

где v – число вкладов в расчетном периоде,

n - число лет,

m – число капитализаций в год.

тогда

r_k = 1 + 1.9427/100 = 1.0194

S_{4 × 10} = 500× = 500×60.8157 = 30407.84 д.е.

Задача 9. Насколько увеличатся годовые вклады по 2 000 д.е. в течение 4 лет при 8% годовых, если капитализация производится раз в три месяца и первый вклад вносится в конце первого года.

Решение

,

u₁ = u×I_2% ⁴ / III_2% = 2000×1.0824 / 4.204 = 514.93 д.е.

S_nm = 514.93×III_2% ^{3 × 4} + 2000 = 514.93×13.6803 + 2000 =
= 9044.41 д.е.

Задача 10. Пусть первый вклад в банк составляет 2000 д.е., а каждый последующий уменьшается на 100 д.е. по отношению к предыдущему. Найти величину вкладов в конце 10-го года, если они производятся ежегодно, постнумерандо, процентная ставка – 4% годовых, капитализация ежегодная.

Решение

Задача 11. Найти текущую стоимость суммы 10 вкладов постнумерандо по 5000 д.е. при 8% годовых, если капитализация осуществляется каждые полгода.

Решение

При ежегодной капитализации:

C₀ = a×IV_p ⁿ = 5000×IV_8% ¹⁰ = 5000×6.71=33550

Задача 12. Пусть величина займа равна 20000 д.е. Амортизация осуществляется одинаковыми аннуитетами в течение 10 лет при 2% годовых. Найти величину выплаты задолженности за второй и третий годы, если капитализация процентов производится ежегодно.

Решение

Таблица 2

План погашения займа (амортизационный план)

Год	Долг	Процентный платеж	Выплата долга	Аннуитет
1	20000	400	1826.53	2226.53
2	18173.47	363.47	1863.06
3	16310.41	326.21	1900.32

Пояснения к таблице

Аннуитет вычисляем по формуле:

a = K×V_p ⁿ = 20000×V_2% ¹⁰ = 20000×0.1113 = 2226.53 д.е.

Чтобы определить выплату задолженности b₁ , вычисляем величину процентного платежа I:

I₁ = K₁ ×p/100 = 20000×2/100 = 400 д.е.

Выплата задолженности представляет собой разницу между аннуитетом и процентным платежом:

b₁ = a – I₁ = 2226.53 – 400 = 1826.53 д.е.

Таким образом, после первого года долг сократится на 1826.53 д.е. Остаток долга равен:

K₂ = 20000 - 1826.53 = 18173.47 д.е.

Вычислим процентный платеж на остаток долга:

I₂ = 18173.47×2/100 = 363.47 д.е.

Вторая выплата составит:

b₂ = a – I₂ = 2226.53 – 363.47 = 1863.06 д.е.

Долг уменьшится на величину 1863.06, остаток долга составит:

K₃ = 18173.47 – 1863.06 = 16310.41 д.е.