Реферат: Загальні властивості неперервних функцій

що й треба було довести.

Теорема 7 (про найменше і найбільше значення ). Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області D, то вона обмежена, тобто всі її значення містяться між двома скінченними числами та і М:

m ≤ f(X) ≤ M.

Числа т і М називаються найменшим і найбільшим значен­нями функції. При цьому в області D знайдеться принаймні одна точка Х₁ D, в якій функція f(X₁ ) набуває найменшого значення f(Х₁ ) = т ; і принаймні одна точка Х₂ D, в якій функція набуває найбільшого значення f(Х₂ ) = М.

Сформулюємо теорему 7 для функції однієї змінної:

якщо функція у = f(х) неперервна на [а, b], то вона обмеже­на, тобто всі її значення містяться між. двома скінченними чи­слами т і М, які називаються найменшим і найбільшим значен­нями функції на сегменті [а, b].

m ≤ f(x) ≤ M.

На рис. зображена неперервна на [а, b] функція, у якої є точки і такі, що

і одна точка х₂ , в якій f(х₂ ) = М.

Теорема 8 (Кантора). Якщо функція неперервна в обмеженій замкнутій області D, то вона рівномірно неперервна в D.

Теорему наводимо без доведення.