Реферат: Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку

4. Формула Остроградського – Ліувілля.

Ця формула має вигляд (5.19)

Доведення . Розглянемо вронскіан W (x) = і обчислимо його похідну

+ + .

Перших (n-1)-визначників рівні нулю , так як всі вони мають по дві однакових стрічки . Далі домножимо (n-1) стрічки останнього визначника відповідно на і складемо всі nстрічок . В силу диференціального рівняння (5.5) маємо = ,

Звідки маємо формулу (5.19) .

5. Фундаментальна система розв’язків та ії існування.

Означення 5.5. Сукупність n розв’язків диференціального рівняння (5.5) визначених і лінійно незалежних на (a,b) називається фундаментальною системою розв’язків .

З попереднього випливає , для того , щоб система n розв’язків диференціального рівняння (5.5) була фундаментальною системою розв’язків необхідно і достатньо , щоб вронскіан цих розв’язків був відмінний від нуля хоч в одній точці інтервалу неперервності коефіцієнтів диференціального рівняння (5.5) . Всі ці розв’язки повинні бути бути ненульовими .

Теорема 5.3. (про існування ФСР) Якщо коефіцієнти диференціального рівняння (5.5) являються неперервними на (a,b) , то існує фундаментальна система розв’язків на цьому інтервалі.

Доведення . Візьмемо точку (a,b) і побудуємо, використовуючи метод Пікара , розв’язки :

з початковими умовами ;

------------- // --------------- ;

... ------------- // --------------- ... ... ... ....

------------- // --------------- .

Очевидно , що , отже побудовані розв’язки лінійно незалежні .

Теорема доведена .

З методу побудови лінійно незалежних функцій випливає, що таких функцій можна побудувати безліч.

Побудована система розв’язків називається нормованою в точці .

Для будь-якого диференціального рівняння (5.5) існує тільки одна фундаментальна система розв’язків , нормована по моменту .

6. Загальний розв’язок. Число лінійно незалежних розв’язків.

Теорема 5.4. Якщо (x), (x), ... , - фундаментальна система розв’язків диференціального рівняння (5.5) , то формула

y = , (5.20) де , , ... , - довільні константи, дає загальний розв’язок диференціального рівняння (5.5) в області a < x < b,

, , ... , (5.21) , тобто в області визначення

диференціального рівняння (5.5).

Доведення. Якщо (x), (x), ... , - розв’язки диференціального рівняння (5.5) , то лінійна комбінація (5.20) теж розв’язок .

Систему (5.22) можна розв’язати відносно , , ... ,

в області (5.21) , так як . Згідно визначення (5.20) – загальний розв’язок і він містить в собі всі розв’язки диференціального рівняння (5.5) .

Теорема доведена .