Реферат: Замечательные кривые в математике

Архимедову спираль описывает точка, движущаяся вдоль луча («бесконечной стрелки») так, что расстояние от начала луча возрастает пропорционально углу его поворота: r = ka. Логарифмическая спираль получится, если потребовать, чтобы не само расстояние, а его логарифм возрастал прямо пропорционально углу поворота. Обычно уравнение логарифмической спирали записывают, пользуясь в качестве основания системы логарифмов неперовым числом е (п. 25). Такой логарифм числа r называют натуральным логарифмом и обозначают Inr. Итак, уравнение логарифмической спирали записывается в виде lnr = ka

Конечно, угол поворота а можно измерять по-прежнему в градусах. Но математики предпочитают измерять его в радианах, т. е. принимать за меру угла отношение длины дуги окружности между сторонами центрального угла к радиусу этой окружности. Тогда ловорот стрелки на прямой угол будет измеряться числом л 1,57, поворот на величину развернутого угла - числом л 3,14, а полный поворот, измеряемый в градусах числом 360, в радианах будет измеряться числом 2 л 6,28.

Рис. 13.

Из многих свойств логарифмической спирали, от­метим одно: любой луч, выходящий из начала, пересекает любой виток спирали под одним и тем же углом. Величина этого угла зависит только от числа k в уравнении спирали. При этом под углом между лучом и спиралью понимается угол между этим лучом и касательной к спирали, проведенной в точке пересечения (Рис. 13).

Теорема Паскаля

Б. Паскалю (1623—1662) не было еще и 17 лет, когда он открыл замечательное общее свойство конических сечений. Об его открытии математикам поведала афиша, отпечатанная в количестве 50 экземпляров; только два из них дошли до нашего времени. Несколько таких афиш были расклеены на стенах домов и церквей Парижа. Пусть читатель не удивляется этому. Ведь тогда (1640 г.) еще не было научных журналов, на страницах которых можно было бы рассказывать другим ученым о своем открытии. Такие журналы появились лишь четверть века спустя, почти одновременно во Франции и Англии. Но вернемся к Паскалю.

Хотя его афиша и была напечатана на французском языке, а не на латинском, как это было тогда принято, парижане, глазея на нее, вряд ли могли понять, о чем там идет речь. Настолько сжато, без доказательств и пояснений излагал молодой гениальный автор свои мысли.

В начале афиши после трех определений шла под названием «леммы 1» теорема, которую мы перескажем здесь другими словами. Отметим на окружности какие-либо шесть точек, перенумеруем в любом порядке (не обязательно в том, в каком они расположены на окружности) и соединим их отрезками пря­мых; последний из них свяжет шестую точку с первой (рис. 14). Теорема Паскаля утверждает, что три точ­ки пересечения прямых, полученных продолжением этих шести отрезков, взятых через две: первой с четвертой, второй с пятой и третьей с шестой, будут лежать на одной и той же прямой.

Рис. 14.

Попробуйте сами сделать несколько опытов, разбрасывая по-разному точки на окружности (рис. 15).

Рис. 15.

При этом может случиться, что какие-либо прямые, пересечение которых мы ищем, например, первая и четвертая, окажутся параллельными. В этом случае теорему Паскаля нужно понимать так, что прямая, соединяющая две другие точки пересечения, параллельна указанным прямым (рис. 16).

Рис. 16.

Наконец, если вдобавок окажутся параллельными между собой и вторая прямая с пятой, то в этом специальном случае, теорема Паскаля утверждает, что и прямые последней пары - третья и шестая - окажутся параллельными.

Рис. 17.

С таким случаем мы встретимся, например, когда точки на окружности являются вершинами правильного вписанного шестиугольника, перенумерованными в порядке следования на окружности (рис. 17). Паскаль не ограничился тем, что сформулировал свою теорему для окружности. Он заметил, что она должна оставаться верной, если вместо окружности взять любое коническое сечение: эллипс, параболу или гиперболу. На рис. 18 дается иллюстрация к теореме Паскаля для случая параболы.

Рис. 18.

Теорема Брианшона

Французский математик Шарль Брианшон (1783— 1864) обнаружил в 1806 г., что верна следующая тео­рема, которая, как мы увидим, является своего рода перевертышем по отношению к теореме Паскаля.

Проведем 6 касательных к окружности (или к любому коническому сечению), перенумеруем их в каком-либо порядке и найдем последовательные точки

Рис. 19.

пересечения (рис. 19). Теорема Брианшона утверждает, что три прямых, соединяющих шесть точек пе­ресечения, взятых через две: первой с четвертой, второй с пятой, третьей с шестой, пересекаются в одной точке.

Рис. 20.

Чтобы подчеркнуть тесную связь между формулировками двух теорем, Брианшон записал обе формулировки в двух столбцах, одну против другой (следите за рис. 20, где слева пояснена теорема Паскаля, а справа - Брианшона).

« 1 2 3 4 » К-во Просмотров: 1107 Бесплатно скачать Реферат: Замечательные кривые в математике >>> Скачать <<< Меню Поиск