Шпаргалка: Комплексный анализ

Первообразной функции f называется такая функция F , что производная ее равна исходной функции.

Теорема Коши . Интеграл от голоморфной в области D функции F , по границе любого треугольника из D равен нулю.

Теорема. Функция f ,голоморфная в области D, имеет первообразную в любой ограниченной окрестности точки а из D , то есть U={|z-a|<r} .

Теорема. Для f, непрерывной на кусочно-гладком пути g и имеющей первообразную F , справедлива формула Ньютона-Лейбница , то есть .

Гладкой гомотопией отображения ¦ из M в N наз. такое отображение цилиндра, полученного как результат прямого произведения гладкого мн-зия N на отрезок [0, 1], в гладкое мн-зие М, такое, что отображение точки (x,0) совпадает с ¦(x).

Гомотопией или процессом гомотопии называются все множество гладких гомотопий.

Гомотопными называются отображения ¦_t (x), такие, что существует такая гомотопия, что оба отображения содержатся в ней.

Теорема Коши . Интегралы вдоль гомотопных путей совпадают.

Интегральная теорема Коши . Функция f, голоморфная на компактной, ограниченной непрерывными кривыми области D, в любой точке z из D представима в виде .

Следствие. Значение голоморфной функции в компактной, ограниченной непрерывными кривыми области D, однозначно определяется ее значениями на границе.

Звездной называется такая область, что существует некоторая точка z₀ , такая, что для всех точек z , принадлежащих этой области, отрезок [z, z₀ ] принадлежит области.

Общая интегральная теорема Коши. Функция f, непрерывная в замыкании области D, ограниченной конечным числом кусочно-гладких кривых, представима в каждой точке z из D в виде .

Теорема о среднем . Функция ¦, интегрируемая в области D, в каждой конечной точке z из D представима в виде , где r – радиус достаточно малой окружности с центром в z.

Принцип максимального модуля. Функция, голоморфная в обрасти D, такая, что ее модуль достигает локального максимума в D, постоянна.

Теорема Морера . Если функция ¦ непрерывна в односвязной области D и интеграл от нее вдоль любой кривой зависит только от начальной и конечной точек пути интегрирования, то эта функция голоморфна в D.

Последовательность и ряды аналитических функций. Степенные ряды. Нули аналитической функции (теорема единственности, лемма Шварца). Локальный критерий однолистности (теорема Гурвица). Ряды Лорана. Изолированные особенности аналитических функций.

Сходящимся рядом называется такой ряд, последовательность частичных сумм которого имеет конечный предел.

Равномерно сходящимся рядом называется такой функциональный ряд , что для любого z он сходится и для любого e найдется такой номер N, единый для всех z, что для всех n>N .

Нулем аналитической функции называется точка из ее области определения функции, в которой функция принимает нулевое значение.

Теорема. Функция f(z) с нулем в точке а, отличная от нуля в ее окрестности, представима в виде произведения функции j (z) , голоморфной в а и отличной от нуля в ее окрестности, на линейное приращение аргумента этой функции. То есть f(z)=(z-a) j (z) .

Теорема Единственности . Две функции f₁ и f_2, совпадающие на подмножестве области определения D, имеющем хотя бы одну предельную точку, совпадают всюду на D, то есть f₁ = f₂ .

Рядом Лорана функции f называется функциональный ряд, с коэффициентами , где r<r<R.

Теорема Лорана. Функцию f , голоморфную кольце V={r<|z-a|<R} можно представить как сумму ряда Лорана

Лемма Шварца. Функция ¦, однозначная и аналитическая в единичном круге, для которой справедливы условия ¦ (0)=0 |f(z)| £ 1 (|z|<1), удовлетворяет условиям |f’(0)| £ 1, |f(z)| £ |z| (|z|<1), при этом равенство достигается только для линейных функций вида e^{i a} z, a Î R.

Теорема Гурвица .

Пусть функции ¦, не равна тождественно нулю внутри некоторой области.

И пусть задана последовательность функций ¦_n, равномерно сходится внутри ее к ¦.

Пусть g - замкнутая спрямляемая кривая, принадлежащая этой области со своей внутренностью, не проходящая через нули ¦.