2) ∫R(sinx) cosxdx=|sinx=t, cosxdx=dt|=∫R(t)dt

3) ∫R sinx(cosx)dx=|cosx=t, -sinxdx=dt|=-∫R(t)dt

4) ∫R(tgx)dx=|t=tgx, x=arctgt, dx=dt/(1+t² )|= ∫R(t)dt/(1+t² )5) R(sinx, cosx)= R(-sinx, -cosx)

∫R(sinx, cosx)dx=|t=tgx, dx = dt/(1+ t² )| =∫Ř(t)dt

6) ∫sin ^m x cos ⁿ xdx

a)m=2k+1 ∫sin ^2k x cos ⁿ x sinxdx=∫(1-cos ² x)^k cos ⁿ x sinxdx=|t=cosx, dt=-sinxdx|=-∫(1-t ² )^k t ⁿ dt

b)n=2k+1 ∫sin ^m x cos ^2k x cosxdx= ∫sin ^m x (1-sin ² x)^k dsinx

7) ∫sin ^2p x cos ^2a xdx sin² x=(1-cos2x)/2

cos² x=(1+cos2x)/2 sinxcosx=(1/2)sin2x

8) m=-µ n=-ν замена t=tgx

1/ sin² x=1+ ctg² x 1/ cos² x=1+tg² x

9) ∫tg^m xdx; ∫ctg^m xdx, m-целое >0ое tg² x=1/ cos² x-1

сtg² x=1/ sin² x-1

10) ∫sinmxcosnxdx ∫sinmxsinnxdx

∫cosmxcosnxdxsinmxcosnx=(1/2)(sin(m+n)x+sin(m-n)x)

sinmxsinnx=(1/2)(cos(m-n)x-cos(m+n)x)

Теорема о существовании конечного предела интегральных сумм для непрерывных ф-ий

Пусть существует f определенная на замкнутом интервале [a,b] => ее интегр суммы стремяться к конечному пределу при ранге разбиения - 0.

ax² +bx+c=a(x+b/2a)+(4ac-b² )/(4a² ) x+b/2a=t; (ax+b)/(cx+d)=t^k =>

ax+b= cx t^k + dt^k =>x=…; dx=(…)dt

Заменапеременной: ∫f(x)dx=|x=φ(t); t=g(x); dx= φ’(t)dt|=∫f(φ(t)) φ’(t)dt

Поднесение по знак дифф-ла: Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то ∫f(n)dx=F(n)+C

интегрир по частям: ∫udv=uv-∫vdu

∫xsinxdx=|u=x; du=dx; dv=sinxdx; v= -cosx|=-xcosx-∫-cosxdx= -xcosx+sinx.

Ф-цию вида R(x,^m Ö(ax+b)/(cx+d) –называют дробно линейной ирр-тью. С помощью замены t=^m Ö(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. t^m = (ax+b)/(cx+d); x=(b-dt^m )/(ct^m -a) –рацион ф-ция от t; dx=(mt^{m -1} (ad-bc)dt)/(ct^m -a)²ÞòR(x,^m Ö(ax+b)/ (cx+d))dx=òR((b-dt^m )/ (ct^m -a),t) (mt^{m -1} (ad-bc)dt)/(ct^m -a)²= òR1(t)dt. R1(t)-рацион-ая. Вида òR(x,Öax²+bx+c)dx, -квадр-ая ирр-ть где а, b, c=const. Если трёхчлен ax²+bx+c имеет действит корни х1 х2 то ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2) и R(x,Öax²+bx+c)=R(x,(x-x1)Ö(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,Ö(x-x2)/(x-x1); пусть ax²+bx+c не имеет действит корней и а>0. Тогда подстановка (Эйлера) t=Ö(ax²+bx+c) +xÖaÞax²+bx+c=t²-2xtÖa+ax²; x=(t²-c)/2t(Öa)+b –рацион функ-ция от t Ч.Т.Д;Если а<0 с>0 (ax²+bx+c)>=0) то можно сделать замену Öax²+bx+c=xt+Öc {}{}Опред интеграл. Ограниченность интегрируемой ф-ии. {O}Разбиением t[a,b] называется произвольное мн-во точек xi, I=0,1,…,it удовлетворяющее условию x0=a<x1<x2<…<xit-1<xit{} Каждый из отрезков [xi-1,xi] назыв отрезком разбиения t{} Пусть ф-ция y=f(x) определена на [a,b] и t произвольное разбиение этого отрезка, в каждом отрезке разбиения в произвольном образе выберем (.) xiÎ[xi-1,xi] I=1,..,it и рассмотрим сумму s_t (f,x1,…,xit)= å_{I =1} ^{i x} f(xI)Dx; -интегральная сумма {Определение} Число I –называется опред ò ф-ции y=f(x) на отр[a;b] и обозначается _a ò^b f(x)dx Если "E>0 $d_E =d(E)>0 | при любом разбиении s мелкости |t|<d_E и любом выборе (.) xiÎ[xi-1,xi], I=1,…,it | å_I=1 ^{i t} f(xi)Dx-I | <E При этом пишут I=lim s _t | t | ® 0 . {T}Если ф-ция интегрируема на отр. [a,b] то она ограничина на этом отрезке {Док-во} Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] но не является ограниченным. на этом отрезке. На этом отрезке рассмотрим произвольное разбиение t отрезка [a,b] то она ограничена хотя бы на одном на одном отр. разбиения. Пусть это будет отр.[x_{j 0-1} ,xj0] Тогда на этом отрезке существует последов-ть точек $ {xⁿ _{j o} }>0 | lim_{n ® ¥} f(xⁿ _jo )=¥ Рассмотрим сумму s_t =å_{I =1} ^{i t} f(xI)Dxi=f(xio)Dxjo +å_{I =1} ^{i t} f(x)Dxi=f(xjo)Dxjo+B Зафиксируем произвольным образом xiÎ[xi-1,xi] i¹jolims_t (f,x1,…,x₀ ⁿ ,..,xit) =lim(f(xjo)Dxjo+B)=¥m>0 существует n0 | s_t (f,x1,…,x_jo ^{( n )} ,…,x_{i t} )>m Отсюда Þ, что интегр сумма при мелкости разбеения |t|®0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что $I=lim_{| t | ® 0} s_t Þ"E>0 $d_E >0 | "t, |t|<d_E и любой выбор точек xi вып-ся нер-во |d_t -I|<EÞ|d_t |=|d_t -I+I|<|d_t -I|+|I| <E+|I|; M=E+|I| при любом разбиении t в частности при при |t|<d_E можно выбрать точки x1,..,x_{i t} такие, что |s_t |>MÞф-ция не может быть не ограничена на отр[a,b]. Ч.Т.Д.Ф-ла Ньтона-Лейбница _a ò^b f(x)dx=Ф(b)-Ф(а)=Ф(х)|_а ^b –(1) {T} (основная теорема интегрального исчисления) Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и Ф(х)-какая либо из её первообразных. Þ (1) {Док-во} F(x)=_a ò^x f(t)dtтогда ф-ции F(x) и Ф(x) первообразные для f(x) на [a,b] $F(x)=Ф(х)+С; _a ò^x f(t)dt=Ф(х)+С Если x=a то _a ò^а f(t)dt=0 Þ 0=Ф(а)+СÞ С=-Ф(а)Þ_a ò^x f(t)dt=Ф(х)-Ф(а) Поллагая в равенстве x=b приходим к вормуле (1) Ч.Т.Д.

18.Равномерная сх-сть ф-ых послед-стей и рядов.Признак Вейерштрасса.Ф-циональную посл-сть {fn)x)} xÎE наз. равномерно сходящейся ф-цией f на м-ж Е, если для Îe >0, сущ номер N, такой, что для " т х ÎE и "n >N вып-ся: |fn(x)-f(x)|<e. Если м-ж {fn)x)} равномерно сх-ся на м-ж Е, то она и просто сх-ся в ф-ции f на м-ж. Е тогда пишут: fn-f.

наз. равномерно сх-ся рядом, если на м-ж Е равномерно сх-ся посл-сть его частичной суммы., т. е. равномерная сх-сть ряда означает:Sn(x) -f(x) Не всякий сходящийся ряд является равномерно сх-ся, но всякий равномерно сх-ся – есть сх-ся Т. (Признак Вейерштрасса равномерной сх-ти ряда): Если числовой ряд: (7), где a >=0 сх-ся и для "xÎE и "n = 1,2… если выполняется нер-во un(x)|<=an(8), ряд (9) наз абс-но и равномерно сх-ся на м-ж Е.

Док-ва:

Абсолютная сх-сть в каждой т. х следует из неравенства (8) и сх-ти ряда (7). Пусть S(x) – сумма ряда (9), а Sn(x) – его частичная сумма.

Зафиксируем произвольное e >0 В силу сх-ти ряда (7) сущ. номера N, "n >N и вып. нерво . Следовательно: |S(x)-Sn(x)| = . Это означает, что Sn(x) -S(x) что означает равномерную сх-сть ряда..

19. Степенные ряды. Теорема Абеля. Степенным рядом наз ф-ный ряд вида: a₀ +a₁ x+a₂ x² +… + a_n xⁿ = (1) xÎR членами которого Степенным рядом наз также ряд: a₀ +a₁ (x-x0)+a₂ (x-x0)² … + a_n (x-x0)ⁿ = (2)Степенной ряд (1) сх-ся абс-но по крайней мере в т. х = 0, а ряд (2) в т х = х0, т.е в этих случаях все кроме 1 равны 0. являются степенные ф-ции. Числа anÎR, наз коэффициентами ряда(1). Ряд (2) сводится к ряду (1) по ф-ле у = х-х0.Т Абеля: 1Если степенной ряд (1) сх-ся в т. х0 ¹ 0, то он сх-ся абсолютно при любом х, для которого |x|<|x0|, Если степеннгой ряд (1) расх-ся в т. х0, то он расх-ся в любой т. х, для которой |x|>|x0|

20. Радиус сх-ти и интервал сх-ти степенного ряда. Рассмотрим степенной ряд: (1) Число (конечное или бесконечное) R>=0 наз радиусом сх-ти ряда (1) если для любого х такого, что |x|<R ряд (1) сх-ся, а для " х таких. что |x|>R ряд расх-ся интервалом сх-ти.Т1 Для всякого степенного ряда (1) сущ-ет радиус сх-ти R 0<=R<=+¥ при этом, если |x|<R, то в этой т. х ряд сх-ся абс-но. Если вместо х взять у = х-х0, то получится: интервал сх-ти: |x-x0<R| будет: (x0-R, x0+R)При этом если |x-x0|<R, то ряд сх-ся в т. x абс-но иначе расх-ся. На концах интервала, т. е. при x = -R, x=+R для ряда (1) или x = x0-R, x=x0+R для ряда (3) вопрос о сх-ти решается индивидуально. У некоторых рядов интервал сх-ти может охватывать всю числовую прямую при R = +¥ или вырождаться в одну точку при R=0.Интервал на числовой оси состоящий из т. х для которых |x|<R, т. е. (-R, +R) наз. Т2 Если для степенного ряда (1) сущ-ет предел (конечный или бесконечный): , то радиус сх-ти будет равен этому пределу. Если сущ-ет предел степенного ряда, то радиус сх-ти равен 1/пределот ряда Если степенной ряд (1) имеет радиус сх-ти R>0, то на любом отрезке действительной оси вида |[-r,r] целиком лежащем внутри интервала сх-ти ряд (1) сх-ся равномерно.