Шпаргалка: Основные понятия математического анализа

1. Определение неопред . интеграла . Если ф-ия F(x) – первообр для ф-ии f(x) на промежутке [a,b], то мн-о ф-ий F(x)+C, где С =const, назыв неопред интегр от ф-и f(x) на этом промежутке: ∫f(x)dx=F(x)+C При этом ф-я f(x) назыв подынтегр ф-ей, f(x)dx – подынтегр выр-ем, х – переменной интегр-я.

2. Опред-ие первообр от непрерыв ф-ии . Ф-ия F(x) назыв первообр для ф-ии f(x) на промежутке [a,b], если для всех значений х из этого промежутка вып- я F’(x)=f(x). Если ф-ия f(x), хЄ[a,b] – непрерыв, то для нее сущ-ет первообразная (неопред. Интеграл)

4. Выр-ие (∫ f ( x ) dx ) . Производная неопред интеграла = подынтегр ф-ии. (∫f(x)dx)’=f(x). Док-во: (∫f(x)dx)’= =(F(x)+C)’= F’(x)= f(x)dx

5. Выр. ∫ dF ( x ) Неопред интеграл от дифф-ла некоторой ф-ии = сумме этой ф-ии и произвольной постоянной ∫dF(x)=F(x)+C.Так как ∫dF(x)= F’(x)dx, то ∫F’(x)dx=F(x)+C. Теорема: Если ф-я F(x) является первообр ф-ии f(x) на отрезке [a,b], то мн-во всех первообр ф-ии f(x) задается формулойF(x)+C, С=const.

Док-во: F ( x )+ C – первообр, тогда ( F ( x )+ C )’= F ’( x )+ C ’= F ’( x )= f ( x ) Ф(х) – -тоже первообразная: Ф’(х)=f(x), xЄ[a,b]. (Ф(х)-F(x))’= Ф’(х)-F’(x)=f(x)- f(x)=0 =>Ф(х)-F(x)=C, С-const. Таким образом Ф(х)=F(x)+С. Ф-ия, производ которой на некотором промежутке Х равна 0, постоянна на этом промежут-ке. φ’(x)=0 => φ(x)=C, для каждого хЄ[a,b], тогда для каждого х1,х2 Є [a,b], х1<х2. По теореме Лангранжа: φ(x2)- φ(x1)=0, φ(x)=С

6. Если k - const , ненулевое число, то ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx –k можно вынести из-под знака интеграла. Пусть F(x) – первообр для ф-ии f(x), т.е. F’(x)=f(x), тогда kF(x)-первообр для ф-ии kf(x): (kF(x))’=kF’(x)=kf(x). -k∫f(x)dx=k[C+(x)F]=kF(x)+C1=∫kf(x)dx, где С1=kC 7. Если ∫ f ( x ) dx = F ( x )+ C , то и ∫ f ( u ) du = F ( u )+ C , u =φ( x ) – произвольная ф-ия, непрерывн, дифферен-я. f(x)-непрерыв. => ∫f(x)dx=F(x)+C, u=φ(x)-непрерыв. дифферен.ф-я. F(u)=F(φ(x)) –согласно инвариантности первого дифф-ла. Инвариантность первого дифф-ла: y=f(x) dy=f’(x)dxy=f(u), u=φ(x)– непрерыв, диф-я dy=f’(x)dudF(u)=F’(u)du= =f(u)du ∫f(u)du=∫d(F(u))=F(u)+C

8. Выражение d (∫ f ( x ) dx )= f ( x ) dx - Дифференциал от неопред интегр = подынтегр выр-ю. d(∫f(x)dx)=d(F(x)+C) =dF(x)+dC=F’(x)dx+0=f(x)dx

9. Интеграл ∫[ f ( x )± g ( x )] dx = ∫ f ( x ) dx ±∫ g ( x ) dx –неопред интеграл от алгебраической суммы двух ф-ий равен алгебраической суммe интегр от этих

ф-ийвотдельности: Пусть F(x) и G(x) – первообразныедляф-ий f(x) и g(x): ∫[f(x)+g(x)]dx=∫(F’(x)+G’(x))dx=∫(F(x)+G(x))’dx=∫d(F(x)+G(x))= F(x)+G(x)+C= F(x)+G(x)+C1+C2=F(x)+C1+G(x)+C2 =∫f(x)dx+∫g(x)dx.

10. Вывод формулы замены переменного в неопред интегр (подстановка).Пусть ф-я x=φ(t) опред-на и диф-ма на некотором промежутке Т и Х-мн-во значений этой ф-ии, на кот. определена ф-я f(x). Тогда, если на мн-е Х ф-я f(x) имеет первообр, то на мн-ве Т справедлива фор-ла: ∫f(x)dx= ∫f[φ(t)]φ’(t)dt Док:Пусть F(x)-первообр для f(x) на мн-ве Х. Рассмотрим на мн-ве Т сложную ф-ю F[φ(t)]: (F[φ(t)])’= F_x ’[φ(t)]φ’(t) =f[φ(t)]φ’(t), т.е. ф-я f[φ(t)]φ’(t) имеет на мн-ве Т первообр F[φ(t)] >∫f[φ(t)]φ’(t)dt=F[φ(t)]+C,Замечая что F[φ(t)]+C=F(x)+C= ∫f(x)dx, =>получаем ∫f(x)dx= ∫f[φ(t)]φ’(t)dt.

Дарбу : M_n =sup (f(x)); m_n =inf (f(x)), xÎ(x_i-1 ; x_i ) S_ρ =å M_n∆ x_{i –} верхний; S_ρ =å m_{n ∆} x_i - нижний; СВ - ВА :

1, "верхняя сумма >=нижней; 2, при изменеии разбиения верхняя не увел, нижняя не умень.; 3, измельчение разбиения-добовлене нескольких точек0=< S_ρ -I<e -для верх и ниж - Лемма.

11. Вывод формулы интегрир по частям. Пусть ф-ии u(x) и v(x) определены и диф-мы нанекотором пром-ке Х и пусть ф-я u’(x)v(x) имеет первообр на этом пром-ке. Тогда на пром-ке Х ф-я u(x)v’(x) также имеет перво-ю и справедлива формула: ∫u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u’(x)dx. Док-во: [u(x)v(x)]’= u’(x)v(x)+u(x)v’(x) -u(x)v’(x)=[u(x)v(x)]’-u’(x)v(x)Первообр ф-ии [u(x)v(x)]’ на пром-ке Х является ф-я u(x)v(x). Ф-я u’(x)v(x) имеет первообр на Х по условию теор. -, и ф-я u(x)v’(x) имеет пер-ю на Х.Интегр-уя последнее рав-во получаем: ∫u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u’(x)dx. Так как v’(x)dx=dv,u’(x)dx=du, то ее можно записать в виде: ∫udv=uv-∫vdu По лекциям: d ( uv )= udv + vdu ;∫ d ( uv )= ∫udv+vdu => ∫udv=∫d(uv)-∫vdu=uv-∫vdu Теорема о существовании конечного.

12. Определение дробно рациональной ф-ии. Понятие правильной и неправильной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1-4. Фун-ия вида P_n (x)=a_n xⁿ + a_{n -1} x^{n -1} +…+ a₁ x¹ +a_0, n – натуральное число. a_i , i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени.

Определение: Дробно рацион фун-й (рациональной дробью) назыв фун-ия равная отношению 2-х мн-нов: f(x)= P_m (x)/ Q_n (x), P_m (x)-мн-eн степени m, Q_n (x)-многочлен степени n. Рацион дробь назыв правильной, если m<n. Иначе неправильной. P(x)/Q(x)= S(x)+R(x)/Q(x).Пример(деление дроби). Простейшие дроби 4 вида

1) A/(x-a)

2) A/(x-a)^k k>=2 целое

3) (Mx+n)/(x² +px+q) x² +px+q=0, D<0

4) ( Mx + n )/( x ² + px + q ) ^k k >=2

предела интегральных сумм для непрерывных ф-ий: Пусть сущ f.

13. Если х=а – действит корень кратности k знамен-ля Q_n ( x ) прав-ой рацион дроби, т.е. Q_n ( x )=(х-а) ^k Õ _{n - k} ( x ) Тогда дробь будет представляться в виде суммы 2 правильных дробей: P_m (x)/Q_n (x)=A/(х-а)^k +Rs(x)/(х-а)^{k -1} Õ_{n - k} (x) A-некоторая постоянная, s<n-1 Док-во: P_m (x)/Q_n (x)=[A Õ_{n - k} (x)+ P_m (x)-AQ_{n - k} (x)]/[(х-а)^k Õ_{n - k} (x)]=[ A Õ_{n - k} (x)]/ [(х-а)^k Õ_{n - k} (x)]+[ P_m (x)-AQ_{n - k} (x)]/ [(х-а)^k Õ_{n - k} (x)]=A/(х-а)^k +[P_m (x)-AQ_{n - k} (x)]/ [(х-а)^k Õ_{n - k} (x)], для каждого А. х=а – корень ура-я P_m (x)- A Õ_{n - k} (x)=0; P_m (а)- A Õ_{n - k} (а)=0; P_m (а)≠0 и A Õ_{n - k} (а)≠0; A= P_m (а)/A Õ_{n - k} (а); P_m (x)- A Õ_{n - k} (x)=(x-a) Rs(x); P_m (x)/Q_n (x)= A/(х-а)^k +[(x-a) Rs(x)]/[(x-a) Õ_{n - k} (x)]= A/(х-а)^k + Rs(x)/[(х-а)^{k -1} Õ_{n - k} (x)]; A= P_m (а)/Õ_{n -1} (а).

1 4 . Если Q_n ( x )= ( x ² + px + q )^µ Т _{n -µ} ( x ), где p ² -4 q <0, Т _{n -µ} ( x ) мн-ен не делится на x ² + px + q , то правильную рацион дробь P_m ( x )/ Q_n ( x ) можно представить в виде суммы 2 правильных: P_m (x)/Q_n (x) =(Mx+N)/ (x² +px+q)^µ +Фs(x)/[ (x² +px+q)^µ-1 . Т_{n -µ} (x)],µ,N-нек постоянные, s<n-1 Док-во: P_m (x)/Q_n (x) =[(Mx+N) Т_{n -µ} (x)+ P_m (x)-(Mx+N) Т_{n -µ} (x)]//(x² +px+q)^µ Т_{n -µ} (x)]= (Mx+N)/(x² +px+q)^µ + [P_m (x)-(Mx +N) Т_{n -µ} (x)]/[ (x² +px+q)^µ Т_{n -µ} (x)] для люб µ и N. x² +px+q=0, D<0, x₁₂ =α±iβ, µ и N: P_m (α+iβ)-[ µ (α+iβ)+N]*T_{n -µ} (α+iβ)=0. µ (α+iβ)+N=[ P_m (α+iβ)] /[ T_{n -µ} (α+iβ)]=k + il . Система{ µ α+N =k=> N=k- α(L/b) µb=L=> m=L/bP_m (x)/Q_n (x)=(Mx+N)/(x² +px+q)^µ +Ф s ( x )/[ ( x ² + px + q )^µ-1 Т _{n -µ} ( x )] конечному пределу при ранге разбиения - 0.

1 5 . Разложение рацион дроби на простейшие. Если рацион ф-я R(x)/Q(x) имеет степень мн-на в числ-ле < степени мн-на в знамен-ле, а мн-н Q(x) представлен в виде Q(x)= A(x-a)^r (x-b)^s …(x² +2px+q)^t (x² +2ux+v)^z …, где a,b,.., p,q,u,v,…-вещественные числа, то эту ф-ю можно единств образом представить в виде:R(x)/Q(x) =A1/(x-a)+A2/(x-a)² +…. An/(x-a)ⁿ +…. (M1x+N1) / (x² +2px+q)+ (M2x+N2)/ /(x² +2px+q)² +…+(Mkx+Nk)/(x² +2px+q)^k +, где А1,А2,.М1..N1-вещест числа

1 6 . Определение дробно рацион фун-ии. Понятие правильной и неправ-ной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1-4. Фун-ия вида P_n (x)=a_n xⁿ + a_{n -1} x^{n -1} ++ a₁ x¹ +a_0, n– натуральное число. a_i , i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени.

Определение: Дробно рацион фун-uей (рациональной дробью) назыв фун-ия равная отн-ю 2-х мн-нов:f(x)= P_m (x)/ Q_n (x), P_m (x)-мн-eн степени m, Q_n (x)-многочлен степени n. Рацион дробь назыв правильной, если m<n. Иначе неправильной. P(x)/Q(x)= S(x)+R(x)/Q(x).Пример(деление дроби). Простейшие дроби 4 вида

1) A/(x-a) 2) A/(x-a)^k k>=2 целое

3) (Mx+n)/(x² +px+q) x² +px+q=0, D<0

4) (Mx+n)/(x² +px+q)^k k>=2

17. Вычисление интегралов от тригонометрических ф-ий.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--