Статья: Элементы планиметрии

В выпуклый 4-х угольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: a+c=b+d.

Радиус r вписаной окружности многоугольника вычисляется по формуле , где S – площадь, а P – периметр многоугольника.

Теоремы Вариньона.

Середины сторон 4-х угольника являются вершинами параллелограмма (рис. 11).

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон и середины диагоналей 4-х угольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Если 4-х угольник из п.2 – выпуклый, то площадь параллелограмма MNPQ равна половине площади ABCD.

Свойства хорд.

??????, ?????????? ????? ???????? ???? ???????????? ???? ?????????? ???????? ????? ????? ???? ??????????.

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

Параллельные хорды AB и CD (рис. 12) высекают на окружности равные дуги AD и BC.

Равные хорды одной (или двух равных) окружности стягивают равные дуги.

Угол между хордой АВ и касательной в точке А равен половине меры дуги АВ.

Линия центров двух окружностей.

Линия центров – прямая, проходящая через центры двух окружностей.

Общие внешние (внутренние) касательные двух окружностей пересекаются в точках, лежащих на линии центров.

???? ??? ?????????? ????????, ?? ????? ??????? ????? ?? ????? ???????.

Основные вычислительные формулы.

Теорема косинусов:

Площадь треугольника:

– стороны треугольника, – углы,– высота, – полупериметр, – радиус описаной окружности, – радиус вписаной окружности.

Площадь выпуклого четырехугольника: , и – диагонали, – угол между ними.

2.4. Площадь выпуклого многоугольника с периметром, описанного вокруг окружности радиуса : .

2.5.Формула Герона для вычисления площади треугольника: , где .

2.6.Длина отрезков, на которые делят стороны треугольника точки касания вписаной окружности:, ,

2.7.Теорема Птолемея: во вписаном 4-х угольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон: .

2.8.Площадь трапеции: , и – основания, – высота трапеции.

2.9.Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг многоугольника, нужно найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника, вершинами которого служат три каких-либо вершины данного многоугольника.

3. Некоторые замечательные теоремы планиметрии.

3.1. Теорема Менелая.

Точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда .

3.2.Теорема Чевы.