Статья: Формулы, возможно неизвестные, для решений уравнения Пифагора

Ряд P 8: b =2 d =, a = c , =4 c , гдеc =3,5,7,…

X = 4(c+2); Y = c(c+4); Z = c(c+4)+8.

20,21,29; 28,45,53; 36,77,85; 44,117,125; 52,165,173; 60,221,229; 68,285,293; 76,357,365; 84,437,445; 92,525,533; 100,621,629; 108,725,733; 116,837,845; 124,957,965; …

Ряд P9: b= d=3, a=2c, =6c . где c mod 30, c=4,5,7,8,10,11,…

33,56,65; 39,80,89; 51,140,149; 57,176,185; 69,260,269; 75,308,317; 87,416,425; 93,476,485; 105,608,617; 111,680,689; 123,836,845; 129,920,929; 141,1100,1109; 147,1196,1205; и т.д.

Диофант в своей «Арифметике» рассматривал особую группу троек целых решений уравнения (1), так называемые «хромые» треугольники, катеты которых, т.е. X и Y , отличаются на 1.

Для случая 1 условие существования таких решений: d = 2 c – 1.

Ряд D 1: 3, 4, 5; 119, 120, 169; 4059, 4060, 5741; 137903, 137904, 195025; 4684659, 4684660, 6625109; 159140519, 159140520, 225058681; 5406093003, 5406093004, 7645370045; 183648021599, 183648021600, 259717522849; …

Для случая 2 условие существования таких решений: 2 d = c – 1.

Ряд D 2: 20,21,29; 696 ,697, 985; 23660, 23661, 33461; 803760, 803761, 1136689; 27304196, 27304197, 38613965; 927538920, 927538921, 1311738121;

31509019100, 31509019101, 44560482149;

1070379110496, 1070379110497, 1513744654945; …

Первый и наименьший такой треугольник – 3,4,5, для которого c = d =1 (случай 1).С помощью простых формул, исходя из него, могут быть вычислены сколько угодно много других «хромых» треугольников ( m =1,2,3,…):

d = c + d ; c = 2 d + 1; X , Y , Z рассчитываются по (6);

c = c + d ; d = 2 c – 1; X , Y , Z рассчитываются по (5).

Например, вычислить 1-й треугольник ряда D 2:

d= c+ d = 1 + 1 = 2; c= 2d + 1 = + 1 = 9; c = 3.

X = 2d (c+d ) = 2*2(3+2) = 20; Y = c(c+2d ) = 3(3+2*2 ) = 21;

Z = c ( c +2 d )+ 2 d = 3(3+2*2)+2*2 = 29.

Следующим является треугольник 2 ряда D 1:

c= c+ d = 3 + 2 = 5; d= 2c – 1 = 2*25 – 1 = 49; d = 7.

X = d(2c+d) = 7(2*5+7) = 119; Y = 2c(c+d) = 2*5(5+7) = 120;

Z = 2 c ( c + d ) + d = 2*5(5+7)+7 = 169.

Формулы (4) могут быть использованы для доказательства большой теоремы Ферма, методом бесконечного спуска, для всех нечётных (в т.ч. всех простых > 2) значений показателя степени n.