Статья: Формулы, возможно неизвестные, для решений уравнения Пифагора

Выведены формулы (возможно ранее неизвестные, в широко доступной литературе не встречаются) для решений уравнения Пифагора x^2 + y^2 = z^2. Формулы отличаются от общеизвестных формул древних индусов и вавилонян. Формулы древних индусов:

x= a – b, y=2ab, z= a+ b , a > b.

Вывод других формул

Известно, что уравнение x + y = z (1)

имеет целые решения, например, общеизвестные тройки чисел Пифагора. Таких решений, доказал ещё Евклид, имеется бесконечное множество. Тройку целых положительных чисел x , y , z не имеющих общих делителей, назовём оригинальным решением уравнения (1). Далее оригинальные решения будут обозначаться большими буквами X , Y , Z. Пусть далее везде x < y < z .

Так как x , y и z числа целые, то существуют целые положительные числа a иb , такие, что x = z – a и y = z – b , где b < a , так как по условию x < y . Тогда уравнение (1) запишется следующим образом: ( z - a ) + ( z - b ) = z (2).

После возведения в степень и группирования из (2) получится следующее уравнение:

z – 2 ( a + b ) z + ( a + b ) = 0 (3).

В результате решения уравнения (3) относительно z получим:

z = + a + b ; x = + b ; y = + a ; (4).

Корень не может быть отрицательным в результате решения уравнения (3), потому что по условию не может быть отрицательным или равным нулю ни одно из чисел x , y .

Все три числа целого решения содержат корень , который определяет такие решения и должен быть целочисленным. Кроме того, для получения оригинальных решений числа a и b должны быть взаимно просты, т.е. не иметь общих делителей отличных от 1.

Число является целым в следующих случаях:

- случай 1 : a =2 c , b = d , =2 cd ; после подстановки значений a и b в (4) получим:

X=d(2c+d); Y=2c(c+d); Z=2c(c+d)+ d; (5),

здесь a > b , a –чётное число,b –нечётное, следовательно, X , Z – нечётные, Y – чётное;

- случай 2 : a = c , b =2 d , =2 cd ; после подстановки значений a и b в (4) получим:

X=2d (c+d); Y=c(c+2d); Z=c(c+2d)+ 2d (6),

здесь a > b , a – нечётное число,b – чётное, следовательно, X – чётное, а Y и Z – нечётные;

примечание: в случаях 1 и 2 числа c и d целые и взаимно простые, потому что таковыми являются a и b . Если определены и целы c и d , то определены и целы все числа X , Y , Z.

Следствия

Общие формулы (46) для решений уравнения (1) доказывают бесконечность множества троек целых решений и могут быть использованы для получения целых решений, не имеющих общих делителей. Приэтом должно всегда быть a > b , атакже a иb должны быть взаимно просты. Так как число b меньшее из последних двух, то удобно обозначать ряды решений по его значению, например, если b =1, то ряд решений P 1 (Пифагор).

Ряд P 1: b = d =1, a =2 c , =2 c , где c =1,2,3,…

Подставляя d и c в (5) получим неограниченный ряд оригинальных целых решений X , Y , Z :

X = 2 c +1; Y = 2 c ( c +1); Z = 2 c ( c +1)+1.

Первые решения этого ряда: 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 9,40,41; 11,60,61; 13,84,85; 15,112,113; 17,144,145; 19,180,181; 21,220,221; 23,264,265; 25,312,313; 27,364,365; 29,420,421; …

Ряд P 2: b =2 d =, a = c , =2 c , гдеc =3,5,7,…

Последовательность c начинается с 3 , потому что a > b , и нечётна, чтобы не было общих делителей с b . После подстановки d =1 иc в (6):

X = 2( c +1); Y = c ( c +2); Z = c ( c +2)+2.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--